19.(本小题满分12分)

男  女

9

9 8

8 6 5 0

7 4 2 1

1 15

16

17

18

19 7 7 8 9 9

1 2 4 5 8 9

2 3 4 5 6

0 1

第12届全运会将于2013年8月31日在辽宁沈阳举行，组委会在沈阳某大学招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图(单位：㎝)，若身高在175㎝以上(包括175㎝)定义为“高个子”，身高在175㎝以下(不包括175㎝)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.

(Ⅰ)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率?

(II)若从所有“高个子”中选出3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.

20.(本小题满分12分)

在直角坐标系xoy上取两个定点 ，再取两个动点 且 =3.

(Ⅰ)求直线 与 交点的轨迹 的方程;

(II)已知 ，设直线 ： 与(I)中的轨迹 交于 、 两点，直线 、 的倾斜角分别为 ，且 ，求证：直线 过定点，并求该定点的坐标

21.(本小题满分12分)

函数 .

(Ⅰ)当x>0时，求证： ;

(II)在区间(1，e)上 恒成立，求实数 的范围;

(Ⅲ)当 时，求证：  … ( )

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22.略

23.(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程

以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(Ⅰ)试分别将曲线Cl的极坐标方程 和曲线C2的参数方程 (t为参数)化为直角坐标方程和普通方程：

(II)若红蚂蚁和黑蚂蚁分别在曲线Cl和曲线C2上爬行，求红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离(视蚂蚁为点).

2012—2013学年度上学期期末考试网 高三年级理科数学答案

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.

1.C   2.B   3.D  4.A  5.B   6.D   7.C   8.D   9.D   10.A  11.C   12.B

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.      14.     15.      16.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.解：(Ⅰ)因为角 终边经过点 ，

所以 ， ，                       ………3分

………6分

(Ⅱ)   ，

………9分

，

故函数 在区间 上的值域为 .     ………12分

18.解：(Ⅰ)∵CD= ， ∴AC= ，满足

∴              ………2分

又 平面 ，故以CD为x轴，CA为y轴，以CE为z轴建立空间直角坐标系，

其中C(0，0，0)，D(1，0，0)，A(0， ，0)，F(0， ， )B(-1， ，0)     ………4分

∴ ， ，     ∴   ∴  ……6分

(Ⅱ)平面 的一个法向量 设平面 的一个法向量

且 ，

由  得                      ………8分

∴ ，令 得 ，                 ………10分

∴  故所求二面角F—BD—A的大小为arccos      ………12分