例如表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是 人.由于部分数据丢失，只知道从这 位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为 .

(Ⅰ)求 ， 的值;

(Ⅱ)从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取 位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率.

(17)(本题满分14分)

在四棱柱 中， 底面 ，底面 为菱形， 为

与 交点，已知 , .

(Ⅰ)求证： 平面 ;

(Ⅱ)求证： ∥平面 ;

(Ⅲ)设点 在 内(含边界),且  ，说明满足条件的点 的轨迹，并求 的最小值.

(18)(本小题满分13分)

设函数 ， ， ，记 .

(Ⅰ)求曲线 在 处的切线方程;

(Ⅱ)求函数 的单调区间;

(Ⅲ)当 时，若函数 没有零点，求 的取值范围.

(19)(本小题满分14分)

已知椭圆 经过点 ，一个焦点为 .

(Ⅰ)求椭圆 的方程;

(Ⅱ)若直线 与 轴交于点 ，与椭圆 交于 两点，线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，求 的取值范围.

(20)(本小题满分13分)

已知 是公差不等于0的等差数列， 是等比数列 ，且 .

(Ⅰ)若 ,比较 与 的大小关系;

(Ⅱ)若 .

(ⅰ)判断 是否为数列 中的某一项，并请说明理由;

(ⅱ)若 是数列 中的某一项，写出正整数 的集合(不必说明理由).

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试答案(文史类)

2014.3

一、选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 C C D D B A C B

二、填空题

题号 9 10 11 12 13 14

答案

16  ;

;

二;

三、解答题

15. 解：(Ⅰ)因为

所以， .

由 , ，

得 ，

所以 的单调递增区间是 ， .     ……………………8分

(Ⅱ)因为

所以 .

所以，当 ，即 时， 取得最小值 ;

当 即 时， 取得最大值 .      ……………………13分

16. 解：(I)由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有 人.

设事件 ：从 位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生，

则 .

解得  .

所以 .               ……………………………………………………5分

(Ⅱ)由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有 位，分别记为

.其中 和 为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生.

从中任意抽取 位，可表示为 ,

, , ，共 种可能.

设事件 ：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取 位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生.

事件 包括 , , , ，共 种可能.所以 .

所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为 . ……………………………13分

17. 解：(Ⅰ)依题意, 因为四棱柱 中， 底面 ，

所以 底面 .

又 底面 ,

所以  .

因为 为菱形，

所以 .而 ，

所以 平面 . ………………4分

(Ⅱ)连接 ,交 于点 ，连接 .

依题意， ∥ ,

且 ， ,

所以 为矩形.

所以 ∥ .

又 , , ,

所以 = ，所以 为平行四边形，

则 ∥ .

又 平面 ， 平面 ,

所以 ∥平面 .                   ……………………………………………………………9分

(Ⅲ)在 内，满足  的点 的轨迹是线段 ，包括端点.

分析如下：连接 ，则 .

由于 ∥ ,故欲使  ，只需 ,从而需 .

又在 中， ,又 为 中点，所以   .

故 点一定在线段 上.

当 时， 取最小值.

在直角三角形 中， , , ,

所以 .        …………………………………………………………………14分

18.解：(I) ，则函数 在 处的切线的斜率为 .

又 ，

所以函数 在 处的切线方程为 ,即   ………………4分

(Ⅱ) ，  ，( ).

①当 时， ， 在区间 上单调递增;