参考答案

2013.05

1. 2. 3. 2 4.

5.625 6. 7. 8.

9. 10. 11.

12.3

13.

提示：设 ，由 ，得 ，

= = = ，

研究点P横坐标的最大值，仅考虑 ，

(当且仅当 时取“=”).

14.8

提示： ，设两切点分别为 ， ，( ， )，

： ，即 ，令 ，得 ;

令 ，得 .

： ，即 ，令 ，得 ;令 ，得 .

依题意， ，得 ，

+ = = = ，

= ，可得当 时， 有最小值8.

15. 解：(1)

4分

6分

(2)由 ， ，

又 的内角， ，

， 8分

， ， ， 11分

， 14分

16.证：直三棱柱ABC-A1B1C1中，A A1⊥平面ABC，

∴A A1⊥BC，

∵AD⊥平面A1BC，

∴AD⊥BC，

∵A A1 ，AD为平面ABB1A1内两相交直线，

∴BC⊥平面ABB1A1，

又∵ 平面A1BC，

∴平面A1BC⊥平面ABB1A1

7分

(2) 由等积变换得 ，

在直角三角形 中，由射影定理( )知 ，

∵ ，

∴三棱锥的高为 10分

又∵底面积 12分

∴ = 14分

法二：连接 ，取 中点 ，连接 ，∵P为AC中点，

, ,　 9分

由(1)AD⊥平面A1BC，∴ ⊥平面A1BC，

∴ 为三棱锥P- A1BC的高， 11分

由(1)BC⊥平面ABB1A1　 ， 12分

， 14分

17.解：(1)∵ ，

∴函数y= 是增函数，满足条件①。 3分

设 ，

则 ，

令 ，得 。

当 时， ， 在 上是减函数;

当 时， ， 在 上是增函数，

又 ， ，即 ， 在 上是增函数，

∴当 时， 有最小值0.16=16%>15%，

当 时， 有最大值0.1665=16.65%<22%,

∴能采用函数模型y= 作为生态环境改造投资方案。 9分

(2)由(1)知 ，

依题意，当 ， 、 时， 恒成立;

下面求 的正整数解。

令 ， 12分

由(1)知 ， 在 上是减函数，在 上是增函数，

又由(1)知，在 时， ，且 =16%∈[15%，22%]，

合条件，经枚举 ， ∈[15%，22%]，

而 [15%，22%]，可得 或 或 ，

由 单调性知 或 或 均合题意。 15分

18.解：设椭圆的半长轴是 ，半短轴是 ，半焦距离是 ，

由椭圆 的离心率为 ，可得椭圆 方程是 ， 2分

(只要是一个字母，其它形式同样得分，)

焦点 ，准线 ，设点 ，

(1) 是边长为 的等边三角形，

则圆半径为 ，且 到直线 的距离是 ，

又 到直线 的距离是 ，

所以， ， ，

所以

所以，圆的方程是 。 6分

(2)因为 三点共线，且 是圆心，所以 是线段 中点，

由 点横坐标是 得， ， 8分

再由 得： ， ，

直线 ： ， 12分

原点 到直线 的距离 ，

依题意 ， ，所以 ，

所以椭圆的方程是 . 15分

19.解：(1) ，令 ，得 .

当 时， ， 是减函数;

当 时， ， 是增函数.

∴当 时， 有极小值 ， 无极大值. 4分

(2)

= = ，

由(1)知 在 上是增函数，

当 时， ，

即 ，

∴ ，即 在 上是增函数. 10分

(3) ，由(2)知， 在 上是增函数，

则 ，

令 得， . 16分

20.解：(1)若 ，则由① =0，得 ，

由②得 或 .

若 ，由①得， ，得 ，不可能.

综上所述， .

(2)设等差数列 的公差为 ， >0.

∵ ，∴ ，

∴ ，

∵ >0，由 得 ， ，

由题中的①、②得 ，

，

两式相减得， ， ∴ ，

又 ，得 ，

∴ .

(3)记 ， ，…， 中非负项和为 ，负项和为 ，

则 ， ，得 ， ，

(ⅰ) ，即 .

(ⅱ)若存在 使 ，由前面的证明过程知：

， ，…， ， ， ，…， ，

且 … .

记数列 的前 项和为 ，

则由(ⅰ)知， ，

∴ = ，而 ，

∴ ，从而 ， ，

又 … ，

则 ，

∴ ，

与 不能同时成立，

所以，对于有穷数列 ，若存在 使 ，则数列 和数列 不能为 阶“期待数列”.

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