解　(1)设等差数列{an}的公差为d.

因为a3=-6，a6=0，

所以a1+2d=-6，a1+5d=0.

解得a1=-10，d=2.

所以an=-10+(n-1)×2=2n-12.

(2)设等比数列{bn}的公比为q.

因为b2=a1+a2+a3=-24，b1=-8，

所以-8q=-24，q=3.

所以数列{bn}的前n项和公式为

Sn=b11-qn1-q=4(1-3n).

18.(12分)已知等差数列{an}中，a3a7=-16，a4+a6=0，求{an}的前n项和Sn.

解　设{an}的公差为d，则

a1+2da1+6d=-16，a1+3d+a1+5d=0，

即a21+8da1+12d2=-16，a1=-4d.

解得a1=-8，d=2，或a1=8，d=-2.

因此Sn=-8n+n(n-1)=n(n-9)，

或Sn=8n-n(n-1)=-n(n-9).

19.(12分)已知数列{log2(an-1)} (n∈N*)为等差数列，且a1=3，a3=9.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)证明：1a2-a1+1a3-a2+…+1an+1-an<1.

(1)解　设等差数列{log2(an-1)}的公差为d.

由a1=3，a3=9，

得log2(9-1)=log2(3-1)+2d，则d=1.

所以log2(an-1)=1+(n-1)×1=n，

即an=2n+1.

(2)证明　因为1an+1-an=12n+1-2n=12n，

所以1a2-a1+1a3-a2+…+1an+1-an

=121+122+123+…+12n

=12-12n×121-12=1-12n<1.

20.(12分)在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n.

(1)设bn=an2n-1.证明：数列{bn}是等差数列;

(2)求数列{an}的前n项和.

(1)证明　由已知an+1=2an+2n，

得bn+1=an+12n=2an+2n2n=an2n-1+1=bn+1.

∴bn+1-bn=1，又b1=a1=1.

∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.

(2)解　由(1)知，bn=n，an2n-1=bn=n.∴an=n•2n-1.

∴Sn=1+2•21+3•22+…+n•2n-1

两边乘以2得：2Sn=1•21+2•22+…+(n-1)•2n-1+n•2n，

两式相减得：-Sn=1+21+22+…+2n-1-n•2n

=2n-1-n•2n=(1-n)2n-1，

∴Sn=(n-1)•2n+1.

21.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=12Sn(n=1,2,3，…).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)当bn=log32(3an+1)时，求证：数列{1bnbn+1}的前n项和Tn=n1+n.

(1)解　由已知an+1=12Sn，an=12Sn-1(n≥2)，

得an+1=32an(n≥2).

∴数列{an}是以a2为首项，以32为公比的等比数列.

又a2=12S1=12a1=12，

∴an=a2×(32)n-2(n≥2).

∴an=1，　　　　　n=1，12×32n-2，  n≥2.

(2)证明　bn=log32(3an+1)=log32[32×(32)n-1]=n.

∴1bnbn+1=1n1+n=1n-11+n.

∴Tn=1b1b2+1b2b3+1b3b4+…+1bnbn+1

=(11-12)+(12-13)+(13-14)+…+(1n-11+n)

=1-11+n=n1+n.

22.(14分)已知数列{an}的各项均为正数，对任意n∈N*，它的前n项和Sn满足Sn=16(an+1)(an+2)，并且a2，a4，a9成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=(-1)n+1anan+1，Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n.

解　(1)∵对任意n∈N*，有Sn=16(an+1)(an+2)，           ①

∴当n=1时，有S1=a1=16(a1+1)(a1+2)，

解得a1=1或2.

当n≥2时，有Sn-1=16(an-1+1)(an-1+2).               ②

①-②并整理得(an+an-1)(an-an-1-3)=0.

而数列{an}的各项均为正数，∴an-an-1=3.

当a1=1时，an=1+3(n-1)=3n-2，

此时a24=a2a9成立;

当a1=2时，an=2+3(n-1)=3n-1，

此时a24=a2a9不成立，舍去.

∴an=3n-2，n∈N*.

(2)T2n=b1+b2+…+b2n

=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1

=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+…+a2n(a2n-1-a2n+1)

=-6a2-6a4-…-6a2n

=-6(a2+a4+…+a2n)

=-6×n4+6n-22=-18n2-6n.

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