19.【题文】本小题满分16分)

如图，已知圆

是椭圆

的内接△

的内切圆, 其中

为椭圆的左顶点.

(1)求圆

的半径

;

(

2)过点

作圆

的两条切线交椭圆于

两点，

.

判断直线

与圆

的位置关系并说明理由.

答案

【答案】解(1)如图,由题意知AC⊥BC,

,

其中当

时，y=0.06

5,所以k=9

所以y表示成x的函数为

(2)

,

,

令

得

,

所以

,即

,当

时,

,

即

所以函数为单调减函数,当

时,

,

即

所以函数为单调增函数.所以当

时,

即当C点到城A的距离为

时, 函数

有最小值.

(注：该题可用基本不等式求最小值。)

解析

【解析】略

20.【题文】(本小题满分16分)

已知数列

满足

,(1)若

，求

;

(2)是否存在

,使当

时，

恒为常数。若存在求

，否则说明理由;

(3)若

,求

的前

项的和

(用

表示)

答案

【答案】解: (1)设

，过圆心

作

于

,

交长轴于

由

得

,即

(1)

而点

在椭圆上,

(2)

由(1)、 (2)式得

,解得

或

(舍去)

(2) 设过点

与圆

相切的直线方程为:

(3)

则

,即

(4)

解得

将(3)代入

得

,则异于零的解为

设

,

，则

则直线

的斜率为：

于是直线

的方程为:

即

则圆心

到直线

的距离

故结论成立.

解析

【解析】略21.【题文】

本小题满分10分)

已知矩阵

，其中

，若点

在矩阵

的变换下得到点

(1)求实数a的值;(2)求矩阵

的特征值及其对应的特征向量.

答案

【答案】解：(1)

时，

，其中

(2)因为存在

，所以当

时，

①若

，则

，此时只需：

故存在

②若

，不妨设

,易知

，

时，

③若

，不妨设

，易知

则

故存在三组

和

：

时，

;

时，

;

时，

其中

(3)当

时，

易知

，

，

，

，

解析

【解析】略

22.【题文】(本小题满分10分)

过点

且倾斜角为

的直线和曲线

(

为参数)相交于

两点.求线段

的长.

答案

【答案】解：(1)由

=

，∴

.

(2)由(1)知

，则矩阵

的特征多项式为

令

，得矩阵

的特征值为

与4.

当

时，

∴矩阵

的属于特征值

的一个特征向量为

;

当

时，

∴矩阵

的属于特征值

的一个特征向量为

.

解析

【解析】略

23.【题文】(本小题满分10分)

如图，在底面边长

为1，侧棱长为2的正四棱柱

中，P是侧棱

上的一点，

. (1)试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角为60º;(2)在线段

上是否存在一个定点

，使得对任意的m，

⊥AP，并证明你的结论.

答案

【答案】解：直线的参数方程为

，………………………3分

曲线

可以化为

.…………………………5分

将直线的参数方程代入上式，得

.

设A、B对应的参数分别为

，∴

.…………………8分

AB

=

.……………………………………10分

解析

【解析】略

24.【题文】(本小题满分10分)

在某学校组织的一次蓝球定点投蓝训练中，规定每人最多投3次;在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分;如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投三次。某同学在

A处的命中率

为0.25，在B处的命中率为

.该同学选择

先在A处投一球，以后都在B处投，用

表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为

0

2

3

4

5

0.03

求

的值;

求随机变量

的数学期量

;

试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超

过3分的概率的大小。

答案

【答案】解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则

A(1,0,0), B(1,1,0), P(0,1,m)，C(0,1,0), D(0,0,0),B1(1,1,1), D1(0,0,2).

所以

又由

的一个法向量.

设

与

所成的角为

，

则

=

，解得

.

故当

时，直线AP与平面

所成角为60º.   …………………………5分(2)若在

上存在这样的点Q，设此点的横坐标为x，则

.依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP. 等价于

即Q为

的中点时，满足题设的要求.

………………………10分

4.(1)设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且

P(A)=0.25,

, P(B)= q

,

.根据分布列知:

=0时

=0.03,所以

，q

=0.8.

(2)当

=2时, P1=

w.w.w.zxxk.c.o.m

="0.75" q

(

)×2=1.5 q

(

)=0.24

当

=3

时, P2 =

=0.01,

当

=4时, P3=

=0.48,

当

=5时, P4=

=0.24

所以随机变量

的分布列为

0

2

3

4

5

p

0.03

0.24

0.01

0.48

0.24

随机变量

的数学期望

(3)该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为

;

该同学选择(1)中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.

由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.

解析

【解析】略

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