二、填空题

8.动直线l的倾斜角为60°,且与抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若A, B两点的横坐标之和为3,则抛物线的方程为　　　　.

解析:设直线l的方程为y= x+b,

联立

消去y,

得x2=2p( x+b),

即x2-2 px-2pb=0,

∴x1+x2=2 p=3,

∴p= ,则抛物线的方程为x2= y.

答案:x2= y

9.以抛物线x2=16y的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为　　　　.

解析:抛物线的焦点为F(0,4),准线为y=-4,则圆心为(0,4),半径r=8.

所以,圆的方程为x2+(y-4)2=64.

答案:x2+(y-4)2=64

10.(20 12年 高考北京卷)在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方,若直线l的倾斜角为60°,则△OAF的面积为　　　　.

解析:∵抛物线y2=4x,

∴焦点F的坐标为(1,0).

又∵直线l倾斜角为60°,

∴直线斜率为 ,

∴直线方程为y= (x-1).

联立方程

解得 或

由已知得A的坐标为(3,2 ),

∴S△OAF= |OF|•|yA|= ×1×2 = .

答案:

11.已知点P是抛物线y2=2x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A ,则|PA|+|PM|的最小值是　　　　.

解析:设点M在抛物线的准线上的射影为M'.

由已知可得抛物线的准线方程为x=- ,焦点F坐标为 .

求|PA|+|PM|的最小值,可先求|PA|+|PM'|的最小值.

由抛物线的定义可知,|PM'|=|PF|,

所以|PA|+|PF|=|PA|+|PM'|,当点A、P、F在一条直线上时,

|PA|+|PF|有最小值|AF|=5,

所以|PA|+|PM'|≥5,

又因为|PM'|=|PM|+ ,

所以|PA|+|PM|≥5- = .

答案:

12.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为　　　　.

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),

又F(1,0),

则 =(1-x1,- y1),

=(x2-1,y2),

由题意知 =3 ,

因此

即

又由A、B均在抛物线上知

解得

直线l的斜率为 =± ,

因此直线l的方程为y= (x-1)或y=- (x-1).

答案:y= (x-1)或y=- (x-1)

13.设抛物线y2=4x的焦点为F,过点M(-1,0)的直线在第一象限交抛物线于A、B,且 • =0,则直线AB的斜率k等于　　　　.

解析:焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),

由题意可设直线AB为y=k(x+1),

代入y2=4x中,

得k2(x2+2x+1)=4x,

k2x2+(2k2-4)x+k2=0,

则x1+x2= ,

x1•x2=1.

又 • =(1-x1)(1-x2)+y1y2=1-(x1+x2)+x1x2+2 ×2 =1- +1+4×1=0,

∴k= 或k=- (舍去).

答案:

三、解答题

14.若抛物线y=2x2上的两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线l:y=x+m对称,且x1x2=- ,求实数m的值.

解:法一　如图所示,连接AB,

∵A、B两点关于直线l对称,

∴AB⊥l,且AB中点M(x0,y0)在直线l上.

可设lAB:y=-x+n,

由 得2x2+x-n=0,

∴x 1+x2=- ,x1x2=- .

由x1x2=- ,得n=1.

又x0= =- ,

y0=-x0+n= +1= ,

即点M为 ,

由点M在直线l上,得 =- +m,

∴m= .

法二　∵A、B两点在抛物线y=2x2上.

∴

∴y1-y2=2(x1+x2)(x1-x2).

设AB中点M(x0,y0),

则x1+x2=2x0,kAB= =4x0.

又AB⊥l,∴kAB=-1,从而x0=- .

又点M在l上,

∴y0=x0+m=m- ,

即M ,

∴AB的方程是y- =- ,

即y=-x+m- ,

代入y=2x2,

得2x2+x- =0,

∴x1x2=- =- ,

∴m= .

15.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2 的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1

(1)求该抛物线的方程;

(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若 = +λ ,求λ的值.

解:(1)直线AB的方程是y=2 x- ,与y2=2px联立,

从而有4x2-5px+p2=0,

所以x1+x2= .

由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,

所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.

(2)由p=4知4x2-5px+p2=0可化为x2-5x+4=0,

从而x1=1,x2 =4,

y1=-2 ,y2=4 ,

从而A(1,-2 ),B(4,4 ).

设 =(x3,y3)=(1,-2 )+λ(4,4 )

=(4λ+1,4 λ-2 ),

即C(4λ+1,4 λ-2 ),

所以[2 (2λ-1)]2=8(4λ+1),

即(2λ-1)2=4λ+1,

解得λ=0或λ=2.

16.

海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线y= x2;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t小时后,失事船所在位置的横坐标为7t.

(1)当t=0.5时,写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小.

(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?

解:(1)t=0.5时,P的横坐标xP=7t= ,

代入抛物线方程y= x2,

得P的纵坐标yP=3,

即P ,3 ,A(0,-12),

则|AP|= ,

得救援船速度的大小为 海里/时.

(2)设救援船的时速为v海里,经过t小时追上失事船,此时位置为(7t,12t2).

由vt= ,

整理得v2=144 t2+ +337.

因为t2+ ≥2,当且仅当t=1时等号成立,

所以v2≥144×2+337=252,即v≥25.

因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.

希望提供的高三数学抛物线专项练习题 ，能够帮助大家做好的高考冲刺复习，在高考中取得好成绩!

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