20.如图7-15,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,各棱长都等于a,D.E分别是AC1.BB1的中点,

(1)求证：DE是异面直线AC1与BB1的公垂线段,并求其长度;

(2)求二面角E—AC1—C的大小;

(3)求点C1到平面AEC的距离.

解  (1)过D在面AC1内作FG∥A1C1分别交AA1.CC1于F.G,则面EFG∥面ABC∥面A1B1C1,

∴△EFG为正三角形,D为FG的中点,ED⊥FG.

连AE,   ∵D.E分别为 的中点,

∴     .又∵面EFG⊥BB1,

∴ED⊥BB1,故DE为AC1和BB1的公垂线,计算得DE= a.

(2)∵AC=CC1,D为AC1的中点,∴CD⊥AC1,又由(1)可知,ED⊥AC1,∴∠CDE为二面角E—AC1—C的平面角,计算得∠CDE=90°.或由(1)可得DE⊥平面AC1,∴平面AEC1⊥平面AC1,∴二面角E—AC1—C为90°.

(3)用体积法得点C1到平面ACE的距离为 a.

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