答案　B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)

13.函数y=x+1x的定义域为________.

解析　由x+1≥1，x≠0得函数的定义域为{x|x≥-1，且x≠0}.

答案　{x|x≥-1，且x≠0}

14.f(x)=x2+1　x≤0，-2x　x>0，若f(x)=10，则x=________.

解析　当x≤0时，x2+1=10，∴x2=9，∴x=-3.

当x>0时，-2x=10，x=-5(不合题意，舍去).

∴x=-3.

答案　-3

15.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(-∞，4]，则该函数的解析式f(x)=________.

解析　f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2为偶函数，则2a+ab=0，∴a=0，或b=-2.

又f(x)的值域为(-∞，4]，∴a≠0，b=-2，∴2a2=4.

∴f(x)=-2x2+4.

答案　-2x2+4

16.在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元，购买2000吨，每吨为700元，那么客户购买400吨，单价应该是________元.

解析　设一次函数y=ax+b(a≠0)，把x=800，y=1000，

和x=700，y=2000，代入求得a=-10，b=9000.

∴y=-10x+9000，于是当y=400时，x=860.

答案　860

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知集合A={x|2≤x≤8}，B={x|1

(1)求A∪B，(∁UA)∩B;

(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围.

解　(1)A∪B={x|2≤x≤8}∪{x|1

={x|1

∁UA={x|x<2，或x>8}.

∴(∁UA)∩B={x|1

(2)∵A∩C≠∅，∴a<8.

18.(本小题满分12分)设函数f(x)=1+x21-x2.

(1)求f(x)的定义域;

(2)判断f(x)的奇偶性;

(3)求证：f1x+f(x)=0.

解　(1)由解析式知，函数应满足1-x2≠0，即x≠±1.

∴函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠±1}.

(2)由(1)知定义域关于原点对称，

f(-x)=1+-x21--x2=1+x21-x2=f(x).

∴f(x)为偶函数.

(3)证明：∵f1x=1+1x21-1x2=x2+1x2-1，

f(x)=1+x21-x2，

∴f1x+f(x)=x2+1x2-1+1+x21-x2

=x2+1x2-1-x2+1x2-1=0.

19.(本小题满分12分)已知y=f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x.

(1)求当x<0时，f(x)的解析式;

(2)作出函数f(x)的图象，并指出其单调区间.

解　(1)当x<0时，-x>0，

∴f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x.

又f(x)是定义在R上的偶函数，

∴f(-x)=f(x).

∴当x<0时，f(x)=x2+2x.

(2)由(1)知，f(x)=x2-2x　x≥0，x2+2x　x<0.

作出f(x)的图象如图所示：

由图得函数f(x)的递减区间是(-∞，-1]，[0,1].

f(x)的递增区间是[-1,0]，[1，+∞).

20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2x+1x+1，

(1)判断函数在区间[1，+∞)上的单调性，并用定义证明你的结论.

(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值.

解　(1)函数f(x)在[1，+∞)上是增函数.证明如下：

任取x1，x2∈[1，+∞)，且x1

f(x1)-f(x2)=2x1+1x1+1-2x2+1x2+1=x1-x2x1+1x2+1，

∵x1-x2<0，(x1+1)(x2+1)>0，

所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)

所以函数f(x)在[1，+∞)上是增函数.

(2)由(1)知函数f(x)在[1,4]上是增函数，最大值f(4)=95，最小值f(1)=32.

21.(本小题满分12分)已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且f(x)为增函数，f(x•y)=f(x)+f(y).

(1)求证：fxy=f(x)-f(y);

(2)若f(3)=1，且f(a)>f(a-1)+2，求a的取值范围.

解　(1)证明：∵f(x)=fxy•y=fxy+f(y)，(y≠0)

∴fxy=f(x)-f(y).

(2)∵f(3)=1，∴f(9)=f(3•3)=f(3)+f(3)=2.

∴f(a)>f(a-1)+2=f(a-1)+f(9)=f[9(a-1)].

又f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，

∴a>0，a-1>0，a>9a-1，∴1

22.(本小题满分12分)某商场经销一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(元)与日销售量y(件)之间有如下表所示的关系：

x 30 40 45 50

y 60 30 15 0

(1)在所给的坐标图纸中，根据表中提供的数据，描出实数对(x，y)的对应点，并确定y与x的一个函数关系式.

(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系，写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润?

解　(1)由题表作出(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)的对应点，它们近似地分布在一条直线上，如图所示.

设它们共线于直线y=kx+b，则50k+b=0，45k+b=15，⇒k=-3，b=150.

∴y=-3x+150(0≤x≤50，且x∈N*)，经检验(30,60)，(40,30)也在此直线上.

∴所求函数解析式为y=-3x+150(0≤x≤50，且x∈N*).

(2)依题意P=y(x-30)=(-3x+150)(x-30)=-3(x-40)2+300.

∴当x=40时，P有最大值300，故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润.

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