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向量的数乘运算

计算下列各式：

(1)4(a+b)-3(a-b);

(2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c);

(3)(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b).

思路分析：利用向量的线性运算律计算.

解：(1)4(a+b)-3(a-b)=4a-3a+4b+3b=a+7b.

(2)3(a-2b+c)-(2a+b-3c)

=3a-6b+3c-2a-b+3c=a-7b+6c.

(3)(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)

=a-b-a-b+a+b

=a+b

=0·a+0·b=0+0=0.

计算：(1)3(6a+b)-9;

(2)-2;

(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.

解：(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.

(2)原式=-a-b

=a+b-a-b=0.

(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.

向量的数乘运算类似于实数运算，先算小括号里面的，再算中括号里面的，将相同的向量看作同类项进行合并.

二、向量共线条件的应用

已知向量e1和e2不共线.

(1)如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1-e2)，求证：A，B，D三点共线.

(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线，试确定实数k的值.

思路分析：(1)要证A，B，D三点共线，可证，共线(或与共线等);(2)当ke1+e2与e1+ke2共线时，由向量共线的条件知必有ke1+e2=λ(e1+ke2)，从而求得k的值.

(1)证明：∵=e1+e2，

=+=2e1+8e2+3e1-3e2

=5(e1+e2)=5，

∴∥.又∵AB∩BD=B，

∴A，B，D三点共线.

(2)解：∵ke1+e2与e1+ke2共线，

∴存在λ使ke1+e2=λ(e1+ke2)，

则(k-λ)e1=(λk-1)e2.

由于e1与e2不共线，

只能有

则k=±1.

已知向量a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使d=λa+μb与c共线?

解：∵d=λa+μb

=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)

=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2，

要使d与c共线，则应存在实数k，使d=kc，

即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2，

∴∴λ=-2μ.

故存在这样的实数λ，μ，只要λ=-2μ，就能使d与c共线.

1.若b=λa(λ∈R)，则b与a共线.由此可以判断向量共线问题.若b与a(a≠0)共线，则必存在唯一实数λ，使b=λa.据此可以求两个共线向量中的系数问题.

2.用向量证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得a=λb(a，b为这三点构成的其中任意两个向量).证明步骤是先证明两个向量共线，然后再由两个向量有公共点，证得三点共线.

三、向量线性运算的应用

=a，=b为边的平行四边形.又BM=BC，CN=CD，试用a，b表示，，.

思路分析：利用向量加法的平行四边形法则、三角形法则以及减法的三角形法则对向量进行分解，同时结合向量的数乘运算将未知向量用a，b表示.===(-)=(a-b)，