7.已知函数f(x)=x+ 的定义域为(0，+∞)，且f(2)=2+ .设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N.

(1)求a的值.

(2)问：|PM|•|PN|是否为定值?若是，则求出该定值;若不是，请说明理由.

(3)设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值.

解：(1)∵f(2)=2+ =2+ ，∴a= .

(2)设点P的坐标为(x0，y0)，则有y0=x0+ ，x0>0，由点到直线的距离公式可知，|PM|= = ，|PN|=x0，∴有|PM|•|PN|=1，即|PM|•|PN|为定值，这个值为1.

(3)由题意可设M(t，t)，可知N(0，y0).

∵PM与直线y=x垂直，∴kPM•1=-1，即 =-1.解得t= (x0+y0).

又y0=x0+ ，∴t=x0+ .

∴S△OPM= + ，S△OPN= x02+ .

∴S四边形OMPN=S△OPM+S△OPN= (x02+ )+ ≥1+ .

当且仅当x0=1时，等号成立.

此时四边形OMPN的面积有最小值1+ .

探究创新

8.有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器(切、焊损耗忽略不计).有人应用数学知识作了如下设计：如图(a)，在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形边长，如图(b).

(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1;

(2)由于上述设计存在缺陷(材料有所浪费)，请你重新设计切、焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V2>V1.

解：(1)设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为4-2x，高为x，

∴V1=(4-2x)2•x=4(x3-4x2+4x)(0

∴V1′=4(3x2-8x+4).

令V1′=0，得x1= ，x2=2(舍去).

而V1′=12(x- )(x-2)，

又当x< 时，V1′>0;当

∴当x= 时，V1取最大值 .

(2)重新设计方案如下：

如图①，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形;如图②，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间;如图③，将图②焊成长方体容器.

新焊长方体容器底面是一长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V2=3×2×1=6，显然V2>V1.

故第二种方案符合要求.

●思悟小结

1.函数知识可深可浅，复习时应掌握好分寸，如二次函数问题应高度重视，其他如分类讨论、探索性问题属热点内容，应适当加强.

2.数形结合思想贯穿于函数研究的各个领域的全部过程中，掌握了这一点，将会体会到函数问题既千姿百态，又有章可循.

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