图2画出四棱台直观图(图2)来分析怎样求表面积和体积.由三视图所示,知道该四棱台的高为2 cm,上底面为一个边长为12 cm的正方形,下底面为一个边长为20 cm的正方形.我们知道四棱台的表面积等于四棱台的四个侧面积与上,下底面面积的总和.所以关键是求出四棱台四个侧面的面积,因为它的四个侧面的面积相等,所以只要求出其中一个侧面面积,问题就解决了.下面我们先求出四棱台ABCD面上的斜高,过点A作AE⊥CD,AO垂直底面于点O,连接OE,已知AO=2 cm,则AE为四棱台ABCD面上的斜高:

AE=20-1222+22=25 cm

所以四棱台的表面积和体积分别为:

S四棱台=S四棱台侧+S上底+S下底=

4×12+202×25+12×12+20×20=

(1285+544)(cm2)

V四棱台=1312×12+12×12+20×20+20×20×2=

23544+434(cm3)

[设问]

球体,四棱柱和四棱台的表面积和体积分别已求出来,是不是将它们的表面积和体积分别相加就是该奖杯的表面积和体积呢

[分析解答,板书]

不是,求体积可以相加,而表面积则不可以相加.

我们知道,表面积是几何体表面的面积,它表示几何体表面的大小;体积是几何体占空间的大小.所以分别将球体,四棱柱和四棱台的表面积相加不是奖杯的表面积.应将相加起来的和减去四棱柱的两个底面面积才是奖杯的表面积S,即

S=S球+S四棱柱+S四棱台-2×S四棱柱底面=

16π+544+1285+544-2×(4×8)=

16π+1024+1285≈

1 360(cm2)

奖杯的体积为

V=V球+V四棱柱+V四棱台=

323π+640+23434+544≈

1 052(cm3)

[学生活动]

请大家回想一下,在解答的过程中,容易出错的地方是什么 (让学生思考)

[总结归纳]

求组合几何体的表面积的时候容易出错.

[拓广引申]

[探究1]如果题目改为问:如果该奖杯是由一个球体,一个四棱柱和一个四棱台组合而成,则制造该奖杯需要多少材料 在计算时还需不需要再减去四棱柱的两个底面面积

[讨论板书]

不需要.

[拓广引申]

[探究2]如果将奖杯底部四棱台的各侧棱延长,使它们相交于一点S(如图3所示),得到的正四棱锥S-ABCD的体积为多少

[讨论,解答板书]

图3我们要计算正四棱锥S-ABCD的体积,因为已经知道该四棱锥的底面面积,所以只要求出该棱锥的高问题就解决了.

设四棱锥S-EFGH的高为h,则四棱锥S-ABCD的高为h+2,由面积比等于对应边的平方比得:

hh+22=144400

∴hh+2=1220

∴h=3 cm

则四棱锥S-ABCD的高为5 cm,所以四棱锥S-ABCD的体积为:

V四棱锥=13×400×5=2 0003(cm3)

注:求四棱锥的高还可以利用相似三角形对应边的比求得.

[拓广引申]

[探究3]假如从(图3)四棱锥的顶点向棱锥内注入某种溶液,求四棱锥内溶液体积V与注入溶液高度h的函数关系式.

[讨论,解答板书]

我们可以看到,在注入溶液的过程中,溶液的体积由棱台变化为棱锥,即是注满四棱锥时溶液的体积为四棱锥的体积,未注满时溶液的体积为四棱台的体积.而四棱台的体积随着上,下底面面积与高度的变化而变化,下底面不变,上底面随着高度的变化而变化,所以应用运动,变化的观点来分析它们之间的关系.

当注入溶液的高度为h时,设溶液液面的边长为a,利用相似三角形对应边的比,易得: a20=5-h5

∴a=20-4h

所以注入溶液体积V与注入溶液高度h的函数关系式为:

V=13S上+S上S下+S下·h=13a2+a2×400+400·h=

13(20-4h)2+20×(20-4h)+400·h=

163h3-80h2+400h(0≤h≤5)

(充分挖掘各个知识点之间的联系,有利于帮助学生进行归纳总结,有利于提高教学质量和效率.)

【课堂练习】

[投影]1.(巩固型)若将题中三视图的正视图改为图4所示,也就是已知奖杯中四棱台的侧棱长为5 cm,其他条件不变,那又如何求该奖杯的表面积和体积

[投影]2.(提高型)一个正三棱柱的三视图如图5所示,求这个正三棱柱的表面积.

【课堂小结】

通过这节课的探究学习,发现由三视图求几何体的表面积和体积,要先将三视图转化为其几何体的直观图,分清楚直观图中的几何要素,然后再代公式进行计算;特别要分清几何体的侧面积与表面积;平时多动脑筋,挖掘与题目相关联的知识点.

【布置作业】

[投影](如图6)已知一个组合几何体的三视图,请根据该几何体的三视图画出它的直观图,并计算它的表面积和体积.

高中是人生中的关键阶段，大家一定要好好把握高中，编辑老师为大家整理的数学高一级空间几何体的表面积与体积教案，希望大家喜欢。

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