不难发现：A的任意元素都在B中，而B中存在元素不在A中，具有这种关系时，称A是B的真子集.

示例3  学生思考并回答.

生：(1)直线x+y=2上的所有点

(2)没有元素

师：对于类似(2)的集合称这样的集合为空集.

师生合作归纳空集的定义. 再次感知子集相等关系，加深对概念的理解，并利用韦恩图从“形”的角度理解包含关系，层层递进形成真子集、空集的概念.

能力

提升 一般结论：

① .

②若 ， ，则 .

③A = B  ，且 . 师：若a≤a，类比 .

若a≤b，b≤c，则a≤c类比.

若 ， ，则 .

师生合作完成：

(1)对于集合A，显然A中的任何元素都在A中，故 .

(2)已知集合 ，同时 ，即任意x∈A x∈B x∈C，故 .

升华并体会类比数学思想的意义.

应用

举例 例1(1)写出集合{a、b}的所有子集;

(2)写出集合{a、b、c}的所有子集;

(3)写出集合{a、b、c、d}的所有子集;

一般地：集合A含有n个元素

则A的子集共有2n个.

A的真子集共有2n – 1个. 学习练习求解，老师点评总结.

师：根据问题(1)、(2)、(3)，子集个数的探究，提出问题：

已知A = {a1，a2，a3…an}，求A的子集共有多少个? 通过练习加深对子集、真子集概念的理解.

培养学生归纳能力.

归纳

总结 子集： 任意x∈A x∈B

真子集：A  B¬  任意x∈A x∈B，但存在x0∈B，且x0 A.

集合相等：A = B  且

空集( )：不含任何元素的集合

性质：① ，若A非空，则   A.

② .

③ ， . 师生合作共同归纳—总结—交流—完善.

师：请同学合作交流整理本节知识体系 引导学生整理知识，体会知识的生成，发展、完善的过程.

课后

作业 1.1 第二课时习案 学生独立完成 巩固基础

提升能力

备选训练题

例1  能满足关系{a，b} {a，b，c，d，e}的集合的数目是( A )

A.8个    B.6个    C.4个    D.3个

【解析】由关系式知集合A中必须含有元素a，b，且为{a，b，c，d，e}的子集，所以A中元素就是在a，b元素基础上，把{c，d，e}的子集中元素加上即可，故A = {a，b}，A = {a，b，c}，A = {a，b，d}，A = {a，b，e}，A = {a，b，c，d}，A = {a，b，c，e}，A = {a，b，d，e}，A = {a，b，c，d，e}，共8个，故应选A.

例2  已知A = {0，1}且B = {x | }，求B.

【解析】集合A的子集共有4个，它们分别是： ，{0}，{1}，{0，1}.

由题意可知B = { ，{0}，{1}，{0，1}}.

例3  设集合A = {x – y，x + y，xy}，B = {x2 + y2，x2 – y2，0}，且A = B，求实数x和y的值及集合A、B.

【解析】∵A = B，0∈B，∴0∈A.

若x + y = 0或x – y = 0，则x2 – y2 = 0，这样集合B = {x2 + y2，0，0}，根据集合元素的互异性知：x + y≠0，x – y≠0.

∴   (I)   或   (II)

由(I)得： 或 或

由(II)得： 或 或

∴当x = 0，y = 0时，x – y = 0，故舍去.

当x = 1，y = 0时，x – y = x + y = 1，故也舍去.

∴ 或 ，

∴A = B = {0，1，–1}.

例4  设A = {x | x2 – 8x + 15 = 0}，B = {x | ax – 1 = 0}，若 ，求实数a组成的集合，并写出它的所有非空真子集.

【解析】A = {3，5}，∵ ，所以

(1)若B = ，则a = 0;

(2)若B≠ ，则a≠0，这时有 或 ，即a = 或a = .

综上所述，由实数a组成的集合为 .

其所有的非空真子集为：{0}， 共6个.

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