讨论结果：

(1)通过观察发现这些函数的变量在底数位置，解析式右边都是幂，因为它们的变量都在底数位置上，不符合指数函数的定义，所以都不是指数函数.

(2)由于函数的指数是一个常数，底数是变量，类似于我们学过的幂的形式，因此我们称这种类型的函数为幂 函数，如果我们用字母α来表示函数的指数，就能得到一般的式子，即幂函数的定义：一般地，形如y=xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数.

如y=x2，y= ，y=x3等都是幂函数，幂函数与指数函数、对数函数一样，都是基本初等函数.

(3)我们研究指数、对数函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般;一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性;有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，研究幂函数的性质也应如此.

(4)学生用描点法，也可应用函数的性质，如奇偶性、定义域等，画出函数图象.利用描点法，在同一坐标系中画出函数y=x，y= ，y=x2，y=x3，y=x-1的图象.

列表：

x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

y=x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

y=

…    0 1 1.41 1.73 …

y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …

y=x3 … -27 -8 -1 0 1 8 27 …

y=x-1 … -13

-12

-1  1 12

13

…

描点、连线.画出以上五个函数的图象如图1.

图1

让学生通过观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质.

通过观察图象，完成表格.

(5)第一象限一定有幂函数的图象;第四象限一定没有幂函数的图象;而第二、三象限可能有，也可能没有图象，这时可以通过幂函数的定义域和奇偶性来判断.

(6)幂函数y=xα的性质.

①所有的幂函数在(0，+∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)(原因：1x=1);

②当α>0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞)上是增函数(从左往右看，函数图象逐渐上升).

特别地，当α>1时，x∈(0,1)，y=xα的图象都在y=x图象的下方，形状向下凸，α越大，下凸的程度越大.

当0<α<1时，x∈(0,1)，y=xα的图象都在y=x的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大.

③当α<0时，幂函数的图象在区间(0，+∞)上是减函数.

思路1

应用示例

例1 判断下列函数哪些是幂函数.

①y=0.2x;②y=x-3;③y=x-2;④y= .

活动：学生独立思考，讨论回答，教师巡视引导，及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别，形如y=xα的函数称为幂函数，变量x的系数为1，指数α是一个常数，严格按这个标准来判断.

解：①y=0.2x的底数是0.2，因此不是幂函数;

②y=x-3的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数;

③y=x-2的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数;

④y= 的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数.

点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.

变式训练

判别下列函数中有几个幂函数?

① ;②y=2x2;③ ;④y=x2+x;⑤y=-x3.

解：①③的底数是变量，指数是常数，因此①③是幂函数;

②的变量x2的系数为2，因此不是幂函数;

④的变量是和的形式 ，因此也不是幂函数;

⑤的变量x3的系数为-1，因此不是幂函数.

例2 求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性.

(1) ;(2) ;(3)y=x-2.

活动：学生思考，小组讨论，教师引导，学生展示思维过程，教师评价.根据你的学习经历，回顾求一个函数的定义域的方法，判断函数奇偶性、单调性的方法.判断函数奇偶性、单调性的方法，一般用定义法.解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑：列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域.

解：(1)要使函数 有意义，只需y=3x2有意义，即x∈R.所以函数 的定义域是x∈R.又f(-x)=f(x)，所以函数 是偶函数，它在(-∞，0]上是减函数，在[0，+∞)上是增函数.

(2)要使函数 有意义，只需y=12x3有意义，即x∈R+，所以函数 的定义域是R+，由于函数 的定义域不关于原点对称，所以函数 是非奇非偶函数，它在(0，+∞)上是减函数.

(3)要使函数y=x-2有意义，只需y=1x2有意义，即x≠0，所以函数y=x-2的定义域是x≠0，又f(-x)=f(x)，所以函数y=x-2是偶函数，它在(-∞，0)上是增函数，在(0，+∞)上是减函数.

点评：在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域;当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域，求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.

例3 证明幂函数f(x)=x在[0，+∞)上是增函数.

活动：学生先思考或讨论，再回答，教师根据实际，可以提示引导.证明函数的单调性一般用定义法，有时利用复合函数的单调性.

证明：任取x1，x2∈[0，+∞)，且x10，所以x1-x2x1+x2<0.所以f(x1)

点评：证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写，利用作商的方法比较大小，f(x1)与f(x2)的符号要一致.

看完精品学习网给大家带来的北师大版数学高一上册第二单元教案怎么写，相信老师对教学计划有了更深的认识。更多参考资料尽在精品学习网高中频道。

相关推荐：

苏教版高一上册数学教案范文：必修一《对数函数》 

苏教版高一上册数学教案范文：必修一《指数函数》