高三数学教案：直线与圆锥曲线的位置

一、基本知识概要：

1.直线与圆锥曲线的位置关系：相交、相切、相离。

从代数的角度看是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离;有两组解必相交;一组解时，若化为x或y的方程二次项系数非零，判别式⊿=0时必相切，若二次项系数为零，有一组解仍是相交。

2.　弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。

焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦;

通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径。

3.①当直线的斜率存在时，弦长公式：

= 或当 存在且不为零时

，(其中( )，( )是交点坐标)。

②抛物线 的焦点弦长公式|AB|= ，其中α为过焦点的直线的倾斜角。

4.重点难点:直线与圆锥曲线相交、相切条件下某些关系的确立及其一些字母范围的确定。

5.思维方式: 方程思想、数形结合的思想、设而不求与整体代入的技巧。

6.特别注意:直线与圆锥曲线当只有一个交点时要除去两种情况，些直线才是曲线的切线。一是直线与抛物线的对称轴平行;二是直线与双曲线的渐近线平行。

二、例题：

【例1】直线y=x+3与曲线 ( )

A。没有交点 B。只有一个交点 C。有两个交点 D。有三个交点

〖解〗：当x>0时，双曲线 的渐近线为： ，而直线y=x+3的斜率为1，1<3/2，因此直线与双曲线的下支有一交点，又y=x+3过椭圆 的顶点，k=1>0因此直线与椭圆左半部分有一交点，共计3个交点，选D

[思维点拔]注意先确定曲线再判断。

【例2】已知直线 交椭圆 于A、B两点，若 为 的倾斜角，且 的长不小于短轴的长，求 的取值范围。

解：将 的方程与椭圆方程联立，消去 ，得

由 ，

的取值范围是

[思维点拔]对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于 的方程由 给出，所以可以认定 ，否则涉及弦长计算时，还要讨论 时的情况。

【例3】已知抛物线 与直线 相交于A、B两点

(1) 求证：

(2) 当 的面积等于 时，求 的值。

(1) 证明：图见教材P127页，由方程组 消去 后，整理得 。设 ，由韦达定理得 在抛物线 上，

(2) 解：设直线与 轴交于N，又显然 令

[思维点拔]本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。

【例4】在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围。

〖解〗设B、C关于直线y=kx+3对称，直线BC方程为x=-ky+m代入y2=4x得：

y2+4ky-4m=0， 设B(x1，y1)、C(x2，y2)，BC中点M(x0，y0)，则

y0=(y1+y2)/2=-2k。x0=2k2+m，

∵点M(x0，y0)在直线上。∴-2k(2k2+m)+3，∴m=- 又BC与抛物线交于不同两点，∴⊿=16k2+16m>0把m代入化简得 即 ，

解得-1

[思维点拔]对称问题要充分利用对称的性质特点。