[典型例题]

例1、如图1，设ABC-A B C 是直三棱柱，F是A B 的中点，且

(1)求证：AF⊥A C;   (2)求二面角C-AF-B的大小.

2.(2007全国Ⅰ•文)四棱锥 中，底面ABCD为平行四边形，侧面 底面ABCD，已知 ， ， ， .

(Ⅰ)证明： ;

(Ⅱ)求直线SD与平面SBC所成角的大小.

3.(2007安徽•文) 如图，在三棱锥 中， ， ， 是 的中点，且 ， .

(I)求证：平面 平面 ;

(II)试确定角 的值，使得直线 与平面 所成的角为 .

4.四棱锥 的底面是边长为1的正方形， 图(1)

SD垂直于底面ABCD，SB=√3。

(I)求证 ;

(II)求面ASD与面BSC所成二面角的大小;

(III)设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小。

(Ⅳ)求SD与面SAB所成角的大小。

[巩固练习]

1.(文)正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别为棱AB、BC、DD1的中点.

(1)求证：PB⊥平面MNB1;

(2)设二面角M—B1N—B为α，求cosα的值.

2.(本小题满分14分)如图,在长方体ABCD─A1B1C1D1中,E、P分别是BC、A1D1的中点,M、N分别是AE、CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a.

(1)求证:MN∥面ADD1A1;

(2)求二面角P─AE─D的大小;

(3)求三棱锥P─DEN的体积.

3.( 2006年湖南卷)如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.

(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;

(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;

(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.

4. (2004福建卷)在三棱锥S—ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2 ,M、N分别为AB、SB的中点.

(Ⅰ)证明：AC⊥SB;

(Ⅱ)求二面角N—CM—B的大小;

(Ⅲ)求点B到平面CMN的距离.

三、 体积面积与球

1 . 一个四面体共一个顶点的三条棱两两相互垂直，其长分别为 ，且四面体的四个顶点在一个球面上.则这个球的表面积为(　A　).

A.16 　　　　B.32 　　　　　C.36 　　　　　D.64

2.已知正方体外接球的体积是 ，那么正方体的棱长等于  (  D)

(A) 　　　　(B) 　　　　(C) 　　　　(D)

3.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为 ，则球的表面积为B

(A)    (B)    (C)    (D)

4.设三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B—APQC的体积为  (  C  )

A.         B.    C.       D.

5. (2007全国Ⅱ•文)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为            cm

6、设地球半径为 ，在北纬 圈上有 、 两地，它们的纬度圈上的弧长等于 ，则 、 两地的球面距离为( B   )

、     　  、 　　　        、 　　　　      、

7、(2007江西•文) 四面体 的外接球球心在 上，且 ， ，在外接球面上两点 间的球面距离是(　C　)

A.  B.  C.  D.

8、在半径为 的一个半球内有一个内接正方体，则这个正方体的棱长为           。

9.(2007全国Ⅰ•文)正四棱锥 的底面边长和各侧棱长都为 ，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为____ _____.

10.把边长为 的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四点所在的球面上,B与D两点之间的球面距离为(   C )

(A)  (B)  (C)  (D)

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