人类的每一次重大进步背后都是数学在后面强有力的支撑。精品小编准备了高三数学等比数列教案，具体请看以下内容。

整体设计

教学分析

等比数列与等差数列在内容上是完全平行的，包括定义、性质、通项公式等，两个数的等差(等比)中项、两种数列在函数角度下的解释等，因此在教学时要充分利用类比的方法，以便于弄清它们之间的联系与区别.

等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，这是本节的中心思想方法.本节首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图象，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用.

等比数列概念的引入，可按教材给出的几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，由此对比地概括等比数列的定义.根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解.启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征联想到指数函数进而画出数列的图象.

由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，充分利用类比思想，教师只需把握课堂的节奏，真正作为一节课的组织者、引导者出现，充分发挥学生的主体作用.

大量的数学思想方法渗透是本章的特色，如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想、一般到特殊的思想等，在教学中要充分体现这些重要的数学思想方法，所有能力的体现最终归结为数学思想方法的体现.

三维目标

1.通过实例，理解等比数列的概念;探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力;体会等比数列与指数函数的关系.

2.通过现实生活中大量存在的数列模型，让学生充分感受到数列是反映现实生活的模型，体会数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，达到提高学生学习兴趣的目的.

3.通过对等 比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯和严谨的科学态度.体会探究过程中的主体作用及探究问题的方法，经历解决问题的全过程.

重点难点

教学重点：掌握等比数列的定义;理解等比数列的通项公式及推导.

教学难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式解决相关问题，在具体问题中抽象出等比数列模型及掌握重要的数学思想方法.

课时安排

2课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1.(情境引入)将一张厚度为0.044 mm的白纸一次又一次地对折，如果对折1 000次(假设是可能的)，纸的厚度将是4.4×10296 m，相当于约5.0×10292个珠穆朗玛峰的高度和，这可能吗?但是一位数学家曾经说过：你如果能将一张报纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球.将一张报纸对折会有那么大的厚度吗?这就是我们今天要解决的问题，让学生带着这大大的疑问来展开新课.

思路2.(实例导入)先给出四个数列：

1,2,4,8,16，……

1，-1,1，-1,1，……

-4,2，-1，……

1,1,1,1,1，……

由学生自己去探究这四个数列，每个数列相邻两项之间有什么关系?这四个数列有什么共同点?让学生观察这些数列与上节课学习的等差数列有什么不同?由此引入新课.

推进新课

新知探究[来源:Zxxk.Com]

提出问题

1回忆等差数列的概念及等差数列的通项公式的推导方法.

2阅读课本本节内容的①②③3个背景实例，领会三个实例所传达的思想，写出由3个实例所得到的数列.

3观察数列①②③，它们有什么共同的特征?你能再举出2个与其特征相同的数列吗?

4类比等差数列的定义，怎样用恰当的语言给出等比数列的定义?[来源:Zxxk.Com]

5类比等差中项的概念，你能说出什么是等比中项吗?它与等差中项有什么不同?

6你能举出既是等差数列又是等比数列的例子吗?

7类比等差数列通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗?

8类比等差数列通项公式与一次函数的关系，你能说明等比数列的通项公式与指数函数的关系吗?

活动：教师引导学生回忆等差数列概念的学习过程，指导学生阅读并分析教科书中给出的3个实例.

引导学生发现数列①②③的共同特点：

对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于2;

对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于3;

对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的比都等于-12.

也就是 说，这些数列有一个共同的特点：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数，这里仍是后项比前项，而不是前项比后项，具有这样特点的数列我们称之为等比数列.让学生类比等差数列给出等比数列的定义：

一般地，如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示，显然q≠0，上面的三个数列都是等比数列，公比依次是2,3，-12.

①给出等比数列的定义后，让学生尝试用递推公式描述等比数列的定义，即a1=a，an+1=an•q(n=1,2,3，…).

②再让学生思考既是等差数列，又是等比数列的数列存在吗?学生思考后很快会举出1,1,1，…既是等比数列也是等差数列，其公比为1，公差为0.

教师可再提出：常数列都是等比数列吗?让学生充分讨论后可得出0,0,0，…是常数列，但不是等比数列.

③至此，学生已经清晰了等比数列的概念，比如，从等比数列定义知，等比数列中的任意一项不为零，公比可以为正，可以为负，但不能为0.

④类比等差中项的概念，我们可得出等比中项的概念：如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项.如果G是x和y的等比中项，那么Gx=yG，即G2=xy，G=±ab.因此同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，一个正数和一个负数没有等比中项.显然，在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项;反之，如果一个数列从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后 一项的等比中项，那么这个数列是等比数列.

课件演示：不完全归纳法得到等差数列通项公式的过程：

a2=a1+d，

a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d，

a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d，

……

归纳得到an=a1+(n-1)d.

类比这个过程，可得等比数列通项公式的归纳过程如下：

a2=a1q，

a3=a2q=(a1q)q=a1q2，

a4=a3q=(a1q2)q=a1q3，

……

归纳得到an=a1qn-1.

这样做可以帮助学生体会归纳推理对于发现新的数学结论的作用.这个结论的正确性可用后面的数学归纳法进行严格证明，现在我们先承认它.

下面我们再类比等差数列，探究推导等比数列通项公式的其他方法：

∵{an}是等比数列，

∴anan-1=q，an-1an-2=q，an-3an-4=q，…，a2a1=q.

把以上n-1个等式两边分别乘到一起，即叠乘，则可得到

ana1=qn-1，

于是得到an=a1qn-1.

对于通项公式，教师引导学生明确这样几点：

(1)不要把公式错误地写成an=a1qn.

(2)对公比q，要和等差数列的公差一样，强调“从第2项起，每一项与它的前一项的比”，不要把相邻两项的比的次序颠倒，且公比q可以为正，可以为负，但不能为0.

(3)在等比数列a，aq，aq2，aq3，…中，当a=0时，一切项都等于0;当q=0时，第二项以后的项都等于0，这不符合等比数列的定义.因此等比数列的首项和公比都不能为0.

(4)类比等差数列中d>0，d<0时的情况，若q>0，则相邻两项符号同号，若q<0，则各项符号异号;若q=1，则等比数列为非零常数列;若q=-1，则为如2，-2,2，-2，…这样的数列;若|q|<1，则数列各项的绝对值递减.

最后让学生完成下表，从定义、通项公式比较等差数列、等比数列的异同，加深概念的理解.

等差数列 等比数列

定义 从第2项起，每一项与它前一项的差都是同一个常数 从第2项起，每一项与它前一项的比都是同一个常数

首项、公差(公比)取值有无限制 没有任何限制 首项、公比都不能为0

通项公式 an=a1+(n-1)d an=a1q n-1

讨论结果：(1)～(3)略.

(4)等比数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.

(5)并不是所有的两个数都有等比中项.

(6)除0外的常数列既是等差数列，又是等比数列.

(7)(8)略.

应用示例