例1由下面等比数列的通项公式，求首项与公比.

(1)an=2n;

(2)an=14•10n.

活动：本例的目的是让学生熟悉等比数列的概念及通项公式，可由学生口答或互相提问.

解：(1)an=2•2n-1，

∴a1=2，q=2.

(2)∵an=14•10•10n-1，

∴a1=14×10=52，q=10.

点评：可通过通项公式直接求首项，再求公比.如(1)中，a1=21=2，a2=22=4，∴q=2.

[来源:Zxxk.Com]

变式训练

设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则2a1+a22a3+a4的值为(　　)

A.14            B.12            C.18             D.1

答案：A

解析：由题意，知a2=a1q=2a1，a3=a1q2=4a1，a4=a1q3=8a1，

∴2a1+a22a3+a4=2a1+2a18a1+8a1=14.

例2(教材本节例3)

活动：本例是等比数列通项公式的灵活运用，可让学生自己完成.

点评：解完本例后，启发引导学生观察a5，a10，a15，a20的规律.

变式训练

已知{an}为等比数列，a3=2，a2+a4=203，求{an}的通项公式.

解：设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.

∵a2=a3q=2q，a4=a3q=2q，

∴2q+2q=203.

解得q1=13，q2=3.

当q=13时，a1=18.

∴an=18×(13)n-1=183n-1=2×33-n.

当q=3时，a1=29，

∴an=29×3n-1=2×3n-3.

例3已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1.

(1)求证：数列{an+1}是等比数列;

(2)求an的表达式.

活动：教师引导学生观察，数列{an}不是等差数列，也不是等比数列，要求an的表达式，通过转化{an+1}是等比数列来求解.

解：(1)证明：∵an+1=2an+1，∴an+1+1=2(an+1).

∵a1=1，故a1+1≠0，则有an+1+1an+1=2.

∴{an+1}是等比数列.

(2)由(1)知{an+1}是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，

∴an+1=2•2n-1，即an=2n-1.

点评：教师引导学生进行解后反思.如本题(1)，不能忽视对an+1≠0的说明，因为在等比数列{an}中，an≠0，且公比q≠0，否则解题会出现漏洞.

变式训练

已知数列{lgan}是等差数列，求证：{an}是等比数列.

证明：∵{lgan}是等差数列，设公差为d，

则lgan+1-lgan=d，即an+1an=10d(常数).[来源:学,科,网Z,X,X,K]

∴{an}是等比数列.

知能训练

1.已知等比数列{an}满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7等于(　　)

A.64             B.81             C.128             D.243

2.在等比数列中，已知首项为98，末项为13，公比为23，则项数为(　　)

A.3             B.4             C.5             D.6

答案：

1.A　解析：由a1+a2=3，a2+a3=6，知q=2，a1=1.

所以a7=a1•q6=64.

2.B　解析：设等比数列为{an}.

又∵a1=98，q=23，an=13，∴qn-1=ana1，即(23)n-1=827.

∴n-1=3，n=4，即项数为4.

课堂小结

1.让学生归纳总结本节学习内容：等比数列的概念和等比数列的通项公式的推导及简单的应用，等比数列的证明方法.可让学生对比小结等差数列与等比数列的知识，对比各自性质的异同，让学生用列表的形式给出.

2.教师点出，通过本节内容的学习，在掌握知识的同时，我们还学到了探究新问题的方法，提高了我们解决问题的能力，进一步明确了学习必须经历探究问题全过程的意义，必须领悟凝练数学思想方法.

作业

课本习题2—3 A组1;习题2—3 B组1.

设计感想

本教案设计将类比思想贯穿整节课始终，等差数列和等比数列具有极其相似的特点，比较它们的结构和运算性质，运用类比的方法，可使很多相关性质得以类比和迁移;让学生体会到：有些看似陌生的知识并不都是高不可攀的事情，通过我们的努力，也可以做一些看似数学家才能完成的事.

本教案设计加强了实际背景的教学，等比数列有着非常广泛的实际应用：如产品规格设计的问题;储蓄，分期付款的有关计算等等.教学时不是简单地告诉学生等比数列的定义及通项公式的内容，而是通过实际问题创设一些数学情境，让学生自己去发现，去探索其意义.

本教案设计突出了数学思维的训练，数学是思维的体操，是培养学生分析问题，解决问题的能力及创造能力的载体.新课程倡导强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不再让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验，学生的思维能力就是在这种过程的体验中逐渐提高的.

(设计者：张晓君)

第2课时

导入新课

思路1：(类比导入)等差数列具有丰富而重要的性质，通过复习等差数列的性质，由学生猜想并证明 等比数列的性质.这样既复习了旧知识，同时又让学生经历了知识的发现过程，这种引入符合新课程理念.

思路2：让学生先完成本节的思考与讨论及探索与研究，借助学生的探究，师生共同归纳出相关性质，自然地引入新课.(这种从课本上的练习题入手的方法，其好处是：直截了当，节省课堂时间，教师也比较轻松，只是学生的思维活动层次较第一种弱一些，但也是一种不错的导入选择)

推 进新课

新知探究

提出问题

1回忆上节课等比数列的概念，等比中项、通项公式的概念.

2回忆怎样证明一个数列是等比数列?

3类比等差数列的图象与一次函数的图象之间的关系，探究等比数列的图象与指数函数的图象之间的关系.

4类比等差数列的性质，你能探究出等比数列有哪些重要结论?

活动：教师引导学生对上一节课的探究做一简要回顾，借以熟悉等比数列的有关概念，为进一步探究做好必要的准备，然后让学生借助信息技术或用描点作图画出课本“探究”中(2)(3)要求的图象(如图)，说说通项公式为an=2n-1的数列的图象和函数y=2x-1的图象的关系.然后交流、讨论，归纳出二者之间的关系.事实上，等比数列的通项公式可整理为an=a1qqn，而y=a1qqx(q≠1)是一个不为零的常数a1q与指数函数qx的乘积.从图象上看，表示数列{a1qqn}中的各项的点是函数y=a1q•qx的图象上的孤立点.

和等差数列一样，等比数列中蕴涵着许多重要的性质，类比等差数列的探究方法，教师与学生一起探究.

就任一等差数列{an}，计算a7+a10，a8+a9和a10+a40，a20+a30，你发现了什么规律?从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题，在等比数列中会有怎样的类似结论?

在等差数列{an}中，我们已经探究了，若m+n=p+q(m、n、p、q∈N*)，则am+an=ap+aq，那么我们可以类比猜想：对于等比 数列{an}，若m+n=p+s(m、n、p、s∈N*)，则am•an=ap•as.让学生对此给出证明.

证明：设等比数列{an}的公比为q，

则有am•an=a1•qm-1•a1•qn-1=a21•qm+n-2，ap•as=a1qp-1•a1qs-1=a21•qp+s-2，

∵m+n=p+s，∴有am•an=ap•as.

经过这个证明过程，我们得到了等比数列的一个重要性质，即等比数列{an}中，若m+n=p+s(m，n，p，s∈N*)，则有am•an=ap•as.

结合等比中项，我们很容易有这样的结论：

(1)与首末两项等距离的两项之积等于首末两项的积;

(2)与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方.

结合上节学习的内容，教师与学生一起探究归纳可得到等比数列以下重要结论：

1.等比数列的判断方法

(1)an=an-1•q(n≥2，q是不等于零的常数，an-1≠0)?{an}是等比数列.

(2)a2n=an-1•an+1(n≥2，an-1，an，an+1≠0)?{an}是等比数列.

(3)an=c•qn(c、q均是不为零的常数)?{an}是等比数列.

2.主要性质

(1)当q>1，a1>0或0

(2)an=am•qn-m(m、n∈N*).

(3)当m+n=p+q(m、n、p、q∈N*)时，有am•an=ap•aq.

(4)当数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为lgq的等差数列.

(5)数列{an}中，公比q≠1，则连续取相邻两项的和(或差)构成公比为q的等比数列.

学习等比数列时，时刻与等差数列进行对比，学会用类比、方程的思想解决问题.

讨论结果：(1)让学生默写.

(2)有3种证明方法，比较常用的方法是：a2n=an-1•an+1(n≥2，an-1，an，an+1≠0)?{an}是等比数列.

(3)等比数列的通项公式是关于n的指数型函数.

(4)最常用的是活动中的第3个性质.

应用示例

例1一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项.

活动：本例是课本上例题3，由题意知a3=12，a4=18，求a1，a2.和等差数列一样，这是属于基本量运算的题目，其基本量为a1，q.教师引导学生探究，由等比数列的通项公式列出方程组，求得通项公式，再由通项公式求得数列的任意项.这个过程可以帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系.

解：设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么a1q2=12，①

a1q3=18.②

②÷①，得q=32，③

把③代入①，得a1=163.

因此，a2=a1q=163×32=8.

答：这个数列的第1项和第2项分别是163与8.

点评：通过本题让学生体会方程思想.

高中是人生中的关键阶段，大家一定要好好把握高中，编辑老师为大家整理的高三数学等比数列教案，希望大家喜欢。

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