25解得312

∴AB=21x=14，BC=9x=6

142+102-62AB2+AC2-BC2

2×14×102AB·AC

∴∠BAC=21°47′，45°+21°47′=66°47′.

2而舰艇方位角为40分钟. 3

答：舰艇应以66°47′的方位角方向航行，靠近渔船则需要40分钟.

评述：解好本题需明确“方位角”这一概念，方位角是指由正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角，其范围是(0°，360°).

在利用余弦定理建立方程求出x后，所求舰艇方位角就转化为一个已知三边求角的问题，故仍然利用余弦定理.

从上述两个例题，大家可以看出，实际问题的解决关键在于转化为具体的解三角形问题，从而与我们已知的知识方法产生联系.在下面的例题分析中，我们继续加以体会.

[例3]如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A3 -1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以103 海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.

解：设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，

则3 t海里，BD=10t海里.

∵BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA 3 -1)·2cos120°=6 ∴BC=6

∵ACBCsin∠ABCsinA

2AC·sinA2sin12002BC6∴∠ABC=45°，∴B点在C点的正东方向上， ∴∠CBD=90°+30°=120°

∵BDCDsin∠CBDsin∠CBDBD sin∠CBD10t sin120°1CD23 t

∴∠BCD=30°，∴∠DCE=90°-30°=60° 由∠CBD=120°，∠BCD=30°，得∠D=30°

610

答：缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，需时约15分钟.

[例4]用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度.

分析：在Rt△EGA中求解EG，只有角α一个条件，需要再有一边长被确定，而△EAC中有较多已知条件，故可在△EAC中考虑EA边长的求解，而在△EAC中有角β，∠EAC=180°-α两角与BD=a一边，故可以利用正弦定理求解EA.

解：在△ACE中，AC=BD=a，∠ACE=β，∠AEC=α-β，

a sinβ根据正弦定理，得sin(α-β)

a sinαsinβ在Rt△AEG中，EG=AEsinα=sin(α-β)

a sinαsinβsin(α-β)

a sinαsinβsin(α-β)评述：此题也可以通过解两个直角三角形来解决，思路如下：设EG=x，在Rt△EGA中，利用cotα表示AG;在Rt△EGC中，利用cotβ表示CG，而CG-AG=CA=BD=a，故可以求出EG，又GF=CD=b，故EF高度可求.

[例5]如图所示，已知半圆的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值.

分析：要求四边形OPDC面积的最大值，这首先需要建立一个面积函数，问题是选谁作为自变量，注意到动点P在半圆上运动与∠POB大小变化之间的联系，自然引入∠POB=θ作为自变量建立函数

1关系.四边形OPDC可以分成△OPC与等边△PDC，S△OPC表示，而等边△PDC2

的面积关键在于边长求解，而边长PC可以在△POC中利用余弦定理表示，至于面积最值的获得，则通过三角函数知识解决.

解：设∠POB=θ，四边形面积为y，则在△POC中，由余弦定理得

PC2=OP2+OC2-2OP·OCcosθ=5-4cosθ 1324

3π

43

∴当ππ5π3θ=3264

评述：本题中余弦定理为表示△PCD的面积，从而为表示四边形OPDC面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性.

另外,在求三角函数最值时,涉及到两角和正弦公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ的构造及逆用，应要求学生予以重视.

第三环节：课时小结

通过本节学习，要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时，掌握由实际问题向数学问题的转化，并提高解三角形问题及实际应用题的能力。

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