(本节课开展到这里，学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对均值不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础)

这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形.容易证明△ACD∽△DCB.所以可得CD=ab.或由射影定理也可得到CD=ab.从图中我们可直观地看到ab表示的是半弦长，a+b2表示的是半径长.由于半弦长不大于半径，即CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为：

a+b2≥ab.

显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，等号成立.

还应让学生熟悉均值不等式的其他变形式.如若a、b∈R+，则ab≤a+b2，当且仅当a=b时，式中等号成立.好多书上就把它称为基本不等式.在同样条件下还可写成：a+b≥2ab或2ab≤a+b等.

讨论结果：

(1)(2)略.

(3)均值不等式的几何解释是：半径不小于半弦长.

(4)若a、b∈R+，则ab≤a+b2，当且仅当a=b时，式中等号成立;

若a、b∈R+，则a+b≥2ab，当且仅当a=b时，式中等号成立;

若a、b∈R，则a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，式中等号成立.

应用示例

例1(教材本节例1)

活动：本例是均值不等式的简单应用，教师点拨学生证明时注意式中成立的条件，本例中的ba和ab相当于均值不等式中的a、b.因此必须有ba，ab∈R+

点评：初用均值不等式，学生往往容易忽视不等式成立的条件，点拨学生注意，只要使用均值定理，马上先想到条件，养成良好的解题习惯.

变式训练

已知a、b、c都是正实数，求证：(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.

证明：∵a>0，b>0，c>0，

∴a+b≥2ab>0，b+c≥2bc>0，c+a≥2ca>0.

∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2ab•2bc•2ac=8abc，

即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.

例2已知(a+b)(x+ y)>2(ay+bx)，求证：x-ya-b+a-bx-y≥2.

活动：教师引导学生探究题目中的条件与结论.本题结论中，注意x-ya-b与a-bx-y互为倒数，它们的积为1，故此题应从已知条件出发，经过变形，说明x-ya-b与a-bx-y为正数开始证题.

证明：∵(a+b)(x+y)>2(ay+bx)，

∴ax+ay+bx+by>2ay+2bx.

∴ax-ay+by-bx>0.

∴(ax-bx)-(ay-by)>0.

∴(a-b)(x-y)>0，

即a-b与x-y同号.

∴x-ya-b与a-bx-y均为正数.

∴x-ya-b+a-bx-y≥2x-ya-b•a-bx-y=2(当且仅当x-ya-b=a-bx-y时取“=”).

∴x-ya-b+a-bx-y≥2.

点评：本题通过对已知条件变形，恰当地因式分解，从讨论因式乘积的符号来判断x-ya-b与a-bx-y是正还是负，是我们今后解题中常用的方法.

例3若a>b>1，P=lga•lgb，Q=12(lga+lgb)，R=lga+b2，则(　　)

A.R

C.Q

活动：这是 均值不等式及其变形式的典型应用.根据P、Q、R三个式子的结构特点，应考虑利用均值不等式，再运用函数y=lgx的单调性.

答案：B

解析：∵a>b>1，

∴lga>lgb>0.

∴12(lga+lgb)>12•2lga•lgb，即Q>P.

又∵a+b2>ab，

∴lga+b2>lgab=12(lga+lgb).

∴R>Q.故P

点评：应准确理解均值不等式成立的条件，创造性地应用均值不等式.

例4(教材本节例2)

活动：这是一个实际问题.教师引导学生分析，根据题意在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，求长与宽的和的两倍的最小值;在(2)中，矩形的长与宽的和的两倍是一个常数，求长与宽的积的最大值.联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和与积，因此建立均值不等式的数学模型.

点评：本例也可用函数模型解决，课后可让学生试一试.这里用均值不等式来解，一是说明利用均值不等式求最值的方法，二是说明这种方法的快捷.解完本例后，让学生领悟到：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值;两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.简单地说就是：在应用这个结论求最值时应把握“一正、二定、三相等”.正是正数，定是定值，相等是能取到等号.

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