3. 基本不等式1

对于任意实数 和 ，有 ，当且仅当 时等号成立.

（1）基本不等式1的辨析

l  ;

l  当且仅当 时等号成立;

思考：“当且仅当”的含义是?

l  当a=b时，取等号，即 ;

l  仅当a=b时，取等号，即 。

设计意图：对应问题引入中的两个思考，再次强调基本不等式1中“当且仅当”的含义。

（2）基本不等式1的几何解释

a

b

l  已知：四个全等的直角三角形构成正方形，直角边分别为a、b，当a≠b时，构成的正方形如左图所示，当a=b时，构成的正方形如右图所示.

l  那么：大正方形的面积与四个全等直角三角形面积和的

大小关系是?

设计意图：给出基本不等式1的几何解释，帮助学生加深对基本不等式1的理解，尤其是对“当且仅当”的理解。

4. 基本不等式2的引入

问题：当a>0,b>0时，在不等式 中，以、分别代替a、b，得到什么?

得到：

设计意图：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了两个基本不等式的来源及本质是相同的，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，有助于今后的学习。

5. 基本不等式2

对于任意正数 、 ，有 ，当且仅当 时等号成立.

把 和 分别叫做正数、的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

（1）基本不等式2的辨析

l  ;

l  当且仅当 时等号成立;

思考：“当且仅当”的含义是?

l  当a=b时，取等号，即 ;

l  仅当a=b时，取等号，即 。

（2）基本不等式2的证明

证明：法1.因为 、 为正数，所以 、 均存在.

由基本不等式1，得，当且仅当 时等号成立.

即，当且仅当时等号成立.

法2.因为 ，所以 .

当 时， .当时， .

所以，当且仅当 时， 的等号成立.

（3）基本不等式2的扩充

思考：当、为零时，基本不等式2是否成立?

基本不等式2的扩充：对于任意非负数 、 ，有 ，当且仅当 时等号成立.

（4）基本不等式2的几何解释

l  已知：AB是半圆O的直径，过圆周上任意一点D做AB的垂线，令AC=a、CB=b，

那么DO=_____________，DC=_______________;

l  得到：____________________________________;

设计意图：给出基本不等式2的几何解释，帮助学生加深对基本不等式2的理解，尤其是对“当且仅当”的理解.

6. 基本不等式的应用

例1：已知 ，求证： ，并指出等号成立的条件.

证明：方法多种，可进行作差或者由刚学的基本不等式1入手，进行求证，同时也可以运用基本不等式求最值的方法;

其中一种方法示范板书为：

因为 ，所以 、 同号，并有 ， .

所以， .当且仅当 ，即 时等号成立.