粒计算下的粗糙集模型对比，为探讨基于信息粒的知识获取以及动态粒的推理奠定了基础。

粒度计算是由Zadeh[1]于1996年提出,他认为,人类认识主要基于三个主要概念,即粒度、组织和因果。其中粒度计算是一把伞,涵盖了有关粒度计算的理论、方法论、技术和工具的研究,在粗糙集理论、概念格、知识工程、数据挖掘、人工智能、机器学习等领域有潜在的应用,已成为信息科学的研究热点之一[2]职称论文。

粗糙集[3]定义为给定关系上集合的上近似与下近似构成的有序对,已被成功地应用于机器学习、决策分析、过程控制、模式识别和数据挖掘等领域[4]。传统的粗糙集理论是基于单一粒定义的,即静态粒。文献[5~7]提出了多粒运算下的粗糙集理论模型,即MGRS(multi-granulations rough set,MGRS),并讨论了相关的数学性质。考虑到文献[5~7]中主要讨论了集合在粒度P和Q的P+Q、P∩Q运算下的上下近似集合,本文对多粒运算下的粗糙集模型进行了进一步的讨论,并将其与单一粒度下的粗糙集模型进行了比较;同时,将多粒运算下的粗糙集模型与组合粒度下的粗糙集模型进行了?比较。

1 相关概念

本章给出的相关概念对于后续部分给出的讨论是必要的。

定义1 命题逻辑中,命题P和Q的合取记为P∧Q。P∧Q为真当且仅当P和Q同时为真;命题P和Q的析取记为P∨Q,P∨Q为假当且仅当P和Q同时为假。

定义2 信息系统是一个四元组(U,A,V,f)。其中,U是对象的集合,称为域(universe);A是用来描述对象的属性的集合;V是属性集A的值域; f:U×A→V反映的是某个对象在某个属性上的取值,信息系统通常略写为(U,A)。

定义3 给定一个非空的域U,U×U的子集EU×U表示域U上的一个关系。有序对(U,E)称为一个近似空间[8](approximation space)。

如果关系E满足自反性、对称性和传递性,则E称为一个等价关系[9]。等价关系E对域U可以形成一个划分,记为U/E。可以证明,等价关系和划分是等价的,即给定一个等价关系,可以构造域的划分;同样,给定域的一个划分,可以构造域上的一个等价关系。

信息系统(U,A)中,如果两个体x,y∈U在属性a∈A上取值相同,则称两者在属性a上是不可分辨的。如果x,y在集合BA中的每一个属性b∈B都是不可分辨的,则称两者在集合B上是不可分辨的。与x在集合B上不可分辨的所有个体的集合称为x在集合B上生成的等价类,记为[x]?B,它可以看成是由与x不可分辨的元素构成的信息粒[8](information granule)。

定理1 域U上所有元素在集合A上生成的等价类满足以下三个条件[9]:

a)?x∈U,有[x]?A≠?;

b)?x,y∈U,或者[x]?A=[y]?A成立,或者[x]?A∩[y]?A=?成立;

c)∪x∈U[x]?A=U。

该定理表明,在集合A上生成的所有等价类构成了域的一个划分,这些等价类称为基本等价类。

定义4 对域U的任一子集XU而言,如果它可以表示成某些等价类的并集,称x是精确的(或者称为可定义的),否则称为粗糙的。如果一个概念XU是粗糙的,则可以用两个精确定义的集合来近似,分别称为X的下近似或上近似,记为PX和X,定义如下:

PX=∪[x]?PX[x]?P

X=∪[x]?P∩X≠?[x]?P

其中:[x]?P={y|f(x,P)=f(x,P)}是由x在属性集P上生成的等价类。显然有下式成立:

PXXX

定义5 如果集合X是粗糙的,有序对〈PX,X〉称为它的粗糙集。该粗糙集的近似质量α?P(X)定义如下:

α?P(X)=|PX|/|X|

2 几种基于粒运算的粗糙集模型

定义6 给定信息系统(U,A),P,QA。假设由P,Q对域可以构造相应的划分为

U/IND(P)={[x?1]?P,[x?2]?P,…,[x|U|]?P}

U/IND(Q)={[x?1]?Q,[x?2]?Q,…,[x|U|]?Q}

则由P和Q构成的两个组合粒定义为

U/IND(P∩Q)={[x?1]?P∩[x?1]?Q,…,[x|U|]?P∩

[x|U|]?Q}(1)

U/IND(P∪Q)={[x?1]?P∪[x?1]?Q,…,[x|U|]?P∪

[x|U|]?Q}(2)

例如信息系统(U,A)中,XU且P,QA。其中U={e?1,e?2,e?3,e?4,e?5,e?6,e?7,e?8},X={e?1,e?2,e?5,e?7,e?8}。由P,Q对域形成的划分分别为

U/IND(P)={{e?1,e?7},{e?2,e?3,e?4,e?5,e?6},{e?8}}

U/IND(Q)={{e?1,e?2},{e?3,e?4,e?5},{e?6,e?7,e?8}}

因此有

U/IND(P∩Q)={{e?1},{e?2},{e?3,e?4,e?5},{e?6},{e?7},{e?8}}

U/IND(P∪Q)={e?1,e?2,e?7},{e?1,e?2,e?3,e?4,e?5,e?6},{e?2,e?3,e?4,e?5,e?6},?{e?2,e?3,e?4,e?5,e?6,e?7,e?8},{e?1,e?6,e?7,e?8},{e?8}

定理2 U/IND(P∩Q)形成域的划分,而U/IND(P∪Q)形成域的覆盖。

证明 由于等价关系满足自反性,对由P,Q构造的等价类[x?i]?P和[x?i]?Q,有x?i∈[x?i]?P且x?i∈[x?i]?Q。因此有?∪x?i([x?i]?P∩[x?i]?Q)=∪x?i[x?i]?P∪[x?i]?Q)=U成立,同时有?[x?i]?P∩[x?i]?Q≠?,[x?i]?P∪[x?i]?Q≠?,即U/IND(P∩Q)和U/IND(P∪Q)形成了域的覆盖。

进一步考虑,如果x?j∈[x?i]?P∩[x?i]?Q,如果x?j≠x?i,则有x?j∈[x?i]?P,x?j∈[x?i]?Q。由于[x?i]?P和[x?i]?Q均是等价类,根据定理1可得x?i∈[x?j]?P,x?i∈[x?j]?Q成立,即x?i∈[x?i]?P∩[x?i]?Q成立。

如果x?j?[x?i]?P∩[x?i]?Q,则可能有以下三种情况:a)x?j?[x?i]?P,x?j?[x?i]?Q;b)x?j?[x?i]?P,x?j∈[x?i]?Q;c)x?j∈[x?i]?P,x?j?[x?i]?Q。相应地,根据等价类的性质可得:a)x?i?[x?j]?P,x?i?[x?j]?Q;b)x?i?[x?j]?P,x?i∈[x?j]?Q;c)x?i∈[x?j]?P,x?j?[x?i]?Q,因此有x?i?[x?j]?P∩[x?j]?Q。

通过上述两种情况可得,或者[x?i]?P∩[x?i]?Q=[x?j]?P∩[x?j]?Q成立,或者([x?i]?P∩[x?i]?Q)∩([x?j]?P∩[x?j]?Q)=?成立,因此U/IND(P∩Q)构成了域的一个划分。

证毕。

定义7 给定信息系统(U,A),P,QA,XU,定义组合粒下的粗糙集如下: