P∩QX=∪([x]??P∩[x]??Q)X

([x]?P∩[x]?Q)

P∩QX=∪([x]??P∩[x]??Q)∩X≠?

([x]?P∩[x]?Q)

P∪QX=∪([x]??P∩[x]??Q)X

([x]?P∪[x]?Q)

P∪QX=∪([x]??P∩[x]??Q)∩X≠?

([x]?P∪[x]?Q)

文献[10]中曾经定义了粒逻辑运算下的粗糙集模型,如定义8。

定义8 给定信息系统(U,A),P和Q是信息系统的两个信息粒,则粒逻辑运算下的粗糙集模型定义为

P∧QX=∪{x|([x]?PX)∧([x]?QX)}

P∧QX=∪{x|([x]?P∩X≠?)∧([x]?Q∩X≠?)}

P∨QX=∪{x|([x]?PX)∨([x]?QX)}

P∨QX=∪{x|([x]?P∩X≠?)∨([x]?Q∩X≠?)}

下面将讨论组合粒下的粗糙集与单粒下的粗糙集模型之间的关系以及组合粒下的粗糙集与粒逻辑运算下的粗糙集之间的关系。

3 单一粒与多粒运算下粗糙集的关系

笔者已经证明了下面的定理。

定理3 给定信息系统(U,A),P,QA,XU,则有

P∧QX=PX∩QX

P∧QX=X∩X

P∨QX=PX∪QX

P∨QX=X∪X

运用本文提出的组合粒,并将其与粒逻辑运算下的粗糙集模型进行进一步比对,可以得到下面的定理。

定理4 给定信息系统(U,A),P,QA,XU则有

PX∩QX?P∩QX

P∩QXX∩X

证明

a)?x∈PX∩QX,根据定义有[x]?PX且[x]?PX成立,因此有[x]?P∩[x]?QX,即x∈?P∩QX成立。因此有PX∩?QX?P∩QX。

b)?x∈?P∩QX,有([x]?P∩[x]?Q)∩X≠?。由于[x]?P∩[x]?Q[x]?P,[x]?P∩[x]?Q[x]?Q,有[x]?P∩X≠?并且[x]?Q∩X≠?,因此有x∈X∩X,即P∩QXX∩X。

证毕。

粒计算下的粗糙集模型对比如上文

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