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人的思维是由问题引发产生的，而解决问题的关键在于思维起点的选择。一个问题引发

思维的起点是多样 的。当思维起点选择合理、准确时，解题就能得心应手;当思维起点偏

离时，解题就容易误入岐途，陷入繁杂 的计算无法自拔或走向死胡同。

1.以基本概念、公式、法则为思维起点

数学中的许多问题常是以概念、公式、法则的变形应用为基础来设计的。通过对问题的

分析，联想起相关 的要领、公式、法则，往往容易开启思维的大门。

例1 把正确的答案序号填入括号中。31000除以1700的商是18，余数是( )[①4 ②

40 ③400]。 学生往往会选①，这是学生没有把握概念的本质特征造成的。学生在学习“商

不变规律”时将“所得的商不变 ”误解为“所得的结果不变”，正确的答案应该是③。

1 1 1 1

例2 计算9─+1─÷─×9。计算时学生很可能先算─×9， 导致

6 2 9 9

错误，应要求根据法则进行合理的运算。

以基本概念、公式、法则的联系为解题思维起点是优化解题的重要途径。

2.以解题的目标为思维起点

解题的目标是解题过程中思维的重要导向。解题时，常常要以目标作为思维的起点，从

中获取信息，寻找 捷径。一旦目标被抓住，思维方向就更明确、更具体，解题过程中的推

理就更有针对性。

1 1

例3 李林喝了一杯牛奶的─，再倒满水后， 又喝了这杯牛奶的─

6 3

，再倒满水后又喝了半杯，又加满了水，最后把一杯都喝了。李林喝的牛奶多还是水多?

分析 如果按照题中的问题，从喝的角度求水有多少，是一道很复杂的分数应用题。如

果改变目标从“喝 ”的反面“倒”进水有多少为思维起点，则问题变成了一道简单的分数

加法计算题。小林第一次把杯子

1 1

里的牛奶喝了─杯，第二次又喝了加满杯子的混合液体的─，所以第二

6 3

1 1 1

次又倒进了─杯水;同样地第三次又倒进了─杯水，三次共倒进(─+

3 2 6

1 1

─+─=)1。也就是说喝的牛奶和水同样多，都是1杯。

3 2

这种解题方法就是以解题目标为思维起点，通过解题目标的分析及各阶段性目标逐步推

进，使思维愈加明 确，难度也相应降低，直至问题解决。

3.以合理假设为思维起点

假设是数学解题中的一种常用的思维方法。有些问题直接由条件难以找到解题的突破

口，此时可通过合理 的假设，推出与已知条件相矛盾，然后进行适当的调整，得出问题的

结论。

例4 松鼠妈妈采松果，晴天每天采20个，雨天每天采12个， 它一连8天共采了112

个松果。问这几天中晴 天、雨天各是多少天?

分析 假设这8天全是雨天，则一共可采(12×8=)96(个)，比实际少了(112-96

=)16(个)，这是 因为把晴天每天采的20 个都当成了12个，从而可求出晴天的天数为

(16÷(20-12)=)2(天)，雨天为( 8-2=)6(天)。

引入假设虽然可以促进思维的发展，但必须保证假设的合理性。既要保证解题的优化，

又要使解题过程完 整无误。

4.以合理转化为思维起点