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1数学分析中的几种数学思想方法

1.1运动、变化的思想和方法

以函数为基本研究对象的数学分支-一数学分析.标志着数学从常量数学时期到变量数学时期的转折。也是数学思想方法上一次重大变革。数学分析中的一个基本思想，就是运动、变化的思想，用运动变化的思想去考察间题，从运动变化当中去认识事物.运用运动变化的思想来分析、解决问题的方法是数学分析的基本方法。在数学分析中，/、们为了认识某些客观事物的本质，可以，甚至必须运用运动变化的思想，把它们放在无限的、运动变化的过程中,同过对无限、运动变化过程的研究而完成对这个事物的认识。例如，在切线问题中，把切线看成割线无限运动与变化的稳定趋势。在变速运动中，从小段时间内平均速度的无限变化当中去理解和计算瞬时速度等等就是如此。数学分析为各种变化过程、运动过程中的特征变量随其他一些变量相依而变的关系的建立提供了分析研究的方法。极限的思想和方法正是这种运动、变化思想和方法的反映。极限是数学分析中许多重要概念(如连续、导数、积分)赖依建立的基础.又是解决数学问题的重要工具。极限的思想和方法贯穿于整个数学分析的始终。

1.2辩证法的思想和方法

数学分析包含着丰富的辩证思想，正如恩格斯所说:“变数的数学一其中最重要的部分是微

积分—、本质上不外是辩证法在数学方面的运用”。通过变量、函数、极限、微分和积分等基本概念和基本方法，将辩证思想渗透到整个数学分析之中。在一定条件下，使数学中已知与未知、近似与精确、常量与变量、直与曲、有限与无限、连续与不连续等基本矛盾的对立面互相转化，是数学分析中辩证思想的具体体现。数学分析中运用辩证思想解决问题例子屡见不鲜。例如，通过直认识曲是数学分析解决许多问题的思想方法之一。众所周知，直与曲是有严格区别的两个概念，一般情况下，无论在理论的处理上还是在实际的计算上，直比曲要简单得多。然而在形而上学看来，曲就是曲，直就是直，非此即彼;唯物辩证法则认为，在一定条件下，曲与直可以互相转化。恩格斯深刻地指出:“高等数学的主要基础之一是这样一个矛盾，在一定条件下直线和曲线应当是一回事。”数学分析正是在曲的局部以直代曲。从函数的角度看，就是在自变量变化的小范围内，以线性函数代非线性函数，解决了在初等数学中无法解决的一些问题。求曲边梯形面、曲线的弧长，求曲顶柱体体积、曲面面积等等，都是在局部以直代曲(以直线代曲线或以平面代曲面)解决问题的典型例子。

1.3特殊与一般彼此转化、相互作用的思想和方法

特殊性与一般性是数学研究中一个基本矛盾。特殊与一般是一个矛盾的统一体:一般寓于特殊之中，特殊中体现着一般。它们彼此转化、相互作用在数学分析中往往表现为由特殊到一般，或由一般到特殊，这是数学分析中的重要思想和方法。

1.3.1数学分析概念、理论、方法的建立与发展体现了由特殊到一般

回顾数学分析形成与发展的历史，纵观数学分析中有关基本概念的形成或引入，有关基本理论与方法的建立以及概念、理论与方法的发展，都经历着由特殊到一般的认识发展过程，体现了人类认识运动的基本秩序—由认识个别的特殊的事物，逐步地扩大到认识一般的事物。如，从定量描述某些现象的几个不同的量之间的相互依赖关系到函数概念，从求变速运动物体的速度与求曲线的切线斜率到一元函数微分学，从求变速运动物体的路程与求曲边梯形的面积到一元函数积分学，从求曲顶柱体体积到重积分，从求曲线、曲面的质量与求变力所作的功、流体的流量到曲线积分与曲面积分等等，都体现了数学分析中由特殊到一般的思想方法。又如，从数列到函数，从数列极限到函数极限，从数列到函数列，从数项级数到函数项级数，从一元函数到多元函数，从一元函数微积分到多元函数微积分等等，同样体现了这一思想方法。而初等函数连续性间题，微分法与积分法的建立等等，同样体现了数学分析有关基本理论与方法的建立与发展也是由特殊到一般。

1.3.2数学分析解决问题的过程通常体现了由特殊到一般或由一般到特殊

在数学分析解决问题过程中，常见的方法就是当一个一般性间题一时不易解决或不能解决时，往往先考虑它们的特殊情况，然后再推广到一般情况，或者以特殊情形的结论为基础来解决一般性问题。这是因为特殊性问题常常较为方便，而且特殊性问题的解决往往孕育着一般性问题的解决方法，或者特殊性问题的解决为一般性问题的解决奠定了墓础，创造了条件。与之相反，有些问题的特殊情形却不易解决，而它的一般形式由于有一般的解决方法而较易解决，这时往往把一般情形推广到特殊性问题，使特殊性问题作为它的特例，当这种一般性间题解决之后，那种特殊性问题也就随之解决。

例如，指数函数了ax(a>0，a≠1)在其定义域(-∞，+∞)上连续性的证明[1]，首先考虑特殊情形:证明ax在点x=0处的连续性，然后考虑一般情形:证明。ax在任一点的连续性。这种一般情形的证明是以ax在x=0的连续性为基础的，而且ax在x=0处右连续性的证明也是以其特殊情形为基础的。