数学常识：“集D的任何数x”中的x可取D的任何(所有)数，即D的所有数都由此x代表。反复强调：若代数式y>x中的x代表D的任何正数，则此式所代表的内容之一：有数y>D的任何正数。

“无穷集D=(1，2)的任何元x<1.1x=y”明确表达有D外数y>D的任何(所有)元x(式中x可一个不漏地遍取D的一切数使代表数的y>x必可一个不漏地遍比D的所有x都大);同样，①“C的任何元nC的任何(所有)元n。②“任意一个”是全称量词，对C的任意一个n都有n+1>n就是对C的所有n都有n+1>n(C的所有数都由此n代表)。这不就是说有C外数n+1>C的一切n吗?不少人为了分数而扼杀自己的正常思维能力。

 

因为①②中的n都∈C，故C外n+1中的n∈C显然就是C的最大数——其后继n+1不∈C。

关键是对数学表达式所表达的内容不能只有一知半解，对式中各字母的含义不能只有一知半解。

无穷集U=[a,b]内也有该集的最小、大数。变域为U的x在由小到大取值的过程中必有最后一次的取值：取至b后就无数可取了，虽然最后一次取值的次数n与1相隔无穷多个自然数，即其取数过程是有完有了、有始有终的。

关键：对人而言U内数多得取之不尽，人不能遍取U内一切数，但变域为U的变量却能取尽U内数，因为变域是变量所有能取的数组成的集。对无穷现象的幼稚认识使人们误以为地球人不能做到的事，“宇宙人”也做不到。

正方形a是由4条直线段连接而成的闭折线围成的，将闭折线在一连接点处“剪断后拉直”就成为直线段了。将a的各条边都变为相应的折线，就成为分形几何中由无穷多直线段连接而成的“柯赫岛闭折线”，它所围成的图形的面积j是1，而周长c却>“任意给定的正数”M，将闭折线在一连接点处剪断拉直，就成为长度是>M的无穷长直线段了。这是有始点与终点的无穷长直线段L(否则L就不能还原为原来的闭折线了)。所有连接点可排为一有始点与终点的无穷点列。显然当a的面积j>>1时相应的周长c′>>c>M。

以上是“无穷无尽”与“有穷有尽”的对立统一性在数学中的生动体现。对立统一规律是普遍规律。

不能定量描述无穷集包含多少个元素是数学的重大缺陷。

五、数学中，暗含的用而不知的“骨干”数远远多于已知数

在N内取值的n→∞的含义是：n变至后来所取各自然数n均>“任给定正数”M。这类数n>M显然是“更无理”数。

“本文揭示数学中，用而不知的‘骨干’数远远多于已知数。例如，如无>任何标准正数的非标准数及其倒数就绝无非标准微积分一样，若无>‘任给定正数’M的数x及其倒数，就绝无无穷大变量x>M及其倒变量，从而更无微积分，因为变量x>M是说x所取各数x均大于M。古人不知无氧气就无人类，今人不知无…就无微积分。…

“说恒取自然数的n可变至总>‘任给定正数’M就是间接肯定有无穷大自然数n>M。用而不知地失察此类起决定性作用的数，使数学自相矛盾，正如2500年前数学家对无理数用而不知一样。没有>M的数何来恒>M的变量(至少可取2个数的量称为变量)及其倒变量?从而又何来微积分?!极限论断定无穷数列1，2，3，…，n，…中有数n>M[1]。”

“林群院士精辟指出：‘数学归根结底也在常识之内。’(数学的实践与认识，1997-2)常识一看就懂。天上的星星数不完、物质的无限可分性、等等，就是宇宙中客观存在的无穷现象。元素多得写不完的集合就是无穷集。稍有一点头脑的人都不否认：既然1，2，3，n，…，…是无穷数列，那当然就有与1相隔写不完的那么多(即无穷多)个自然数的自然数n，虽然永生不死的人也不可由1写到此n，但此n却是数列中的无穷大自然数，否则就不是无穷数列了。相应的1/n就是无穷小正数。相应的1，2，3，…，n。就是有首、末项的无穷数列[2]。”正如1与2之间的实数多得写不完一样。

六、推翻自然数公理：N的任何元n<2n∈N

自然数公理断定：数学内的所有正自然数组成的N的各元n均有同属N的对应数2n>n(N的所有数都由此n代表)即：N的任何元n<2n∈N。其实这是使康脱误入歧途的重大病句：N内有数2n>N的所有数n。初3问题：

在N内取值的y=2n>n=1，2，3，…中的自变量n能遍取N的一切数吗?此式一目了然地表达N内有数y>右边数列的一切数n。所以关系式限制式中数列不可包含N的一切数!即y=2n的定义域≠N!即并非N的任何数都能由2n∈N中的n代表。中学数学断定y=2n的定义域=N是使康脱误入歧途的重大错误。

对占统治地位的集合论，1908年著名数学家庞加莱富有远见卓识、高瞻远瞩地作出极其惊人的超凡越圣的伟大科学预见：“下一代人将把(康脱尔的)集合论当作一种疾病，而且人们已经从中恢复过来了。”

 

精品学习网 数学论文栏目