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也许是因为徐迟的那篇充满激情和诗意的报告文学，也许是因为历史的因缘凑合，哥德巴赫猜想居然成了中国人家喻户晓的一个名词。这个词代表了一段传奇，代表了一代人的集体记忆，也代表了一个民族的光荣与梦想。直到今天，仍然有难以计数的人们，有大学老师、中学老师，甚至工人、农民，为哥德巴赫猜想着魔。

我们无法准确地评价延续20多年的“哥德巴赫猜想现象”。也许不同的人站在不同的视角上，都可以生发出自己的思考。

而下面的文章，则纯粹从学术的角度介绍了哥德巴赫猜想的研究历史，也是一篇很好的科普文章。希望有助于人们更深入地了解哥德巴赫猜想，当然，我们也把此文献给去世5年的潘承洞先生——他的名字已经镌刻在哥德巴赫猜想研究的年表上。

数学与数论

数学王子高斯(C. F. Gauss)有一句名言：“数学是科学的女王”;他又讲“数论是数学的王冠”。正如他所说，数论在数学中一直处于醒目的地位。

18世纪的领袖数学家拉格朗日(J. L. Lagrange)有一个著名的定理，即任何一个正整数都能写成四个整数的平方和。这个定理是费马(Fermat)早年的猜测，与拉格朗日同时代的大数学家欧拉(L. Euler)曾经给出一个不完整的证明。第一个完整的证明是拉格朗日给出的。他在完成这个工作之后很感慨，在给欧拉的一封信中，他说：“对我来讲，算术是最难的。”这里，算术就是数论。这是拉格朗日对数论的评价。

何谓哥德巴赫猜想?

俄国数学家辛钦(A. Ya. Shinchin)曾经评论说，哥德巴赫猜想是王冠上的一颗明珠。当然，这个王冠上可能还有其它明珠。

哥德巴赫(C. Goldbach)并不是职业数学家，而是一个喜欢研究数学的富家子弟。他于1690年生于德国哥尼斯堡，受过很好的教育。哥德巴赫喜欢到处旅游，结交数学家，然后跟他们通讯。1742年，他在给好友欧拉的一封信里陈述了他著名的猜想——哥德巴赫猜想。欧拉在回信中说，他相信这个猜想是正确的，虽然他不能给出证明。

用当代语言来叙述，哥德巴赫猜想有两个内容，第一部分叫做奇数的猜想，第二部分叫做偶数的猜想。奇数的猜想指出，任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和。偶数的猜想是说，大于等于4的偶数一定是两个素数的和。

任何人看了这个猜想之后，都能发现这是一个漂亮的猜想。本人认为，一个好的猜想应该具备以下四个条件。第一，它的表述应该很简单，大凡智力正常的人一听就能明白。我相信，小学四、五年级的学生都能明白哥德巴赫猜想的内容。第二个条件，虽然表述很简单，但是这个猜想的证明断然不能简单。第三点，一旦有了证明，这个证明一定是出人意料的。一个好的猜想的证明一定是有趣的，绝对不能像愚公移山一样，天天重复同样枯燥的工作，重复了上万年，才取得成功。第四点，这个猜想绝对不能是孤立的，任何孤立的猜想在数学中都没有太大的意义。一个好的猜想的研究应该可以提升到人类文化史的高度上来看，能够带动其它相关领域、甚至是数学以外的学科的发展。具备上面这四点，那就是一个伟大的猜想。我个人认为，哥德巴赫猜想就具备以上这四个条件。

给定一个猜想，人们可以用各种各样的方法进行研究。譬如，对于哥德巴赫猜想，有人可能用数手指头的方法来研究，这人可能是个小学生。有人想用打算盘的方法来研究，那这人可能是一个小店的会计兼出纳。真正研究这个猜想，则需要很高深的数学工具。还必须指出的是，从这个猜想可以看出数学的特性——数学是在所有科学当中唯一能够处理无穷的学科。我们不能用做实验的方法来研究哥德巴赫猜想。计算机算得再快，也只能在有限时间内算有限个数;然而，遗憾的是，奇数和偶数都有无穷多个。所以，这个猜想让迷信实验的人非常沮丧。不过，在最好的计算机所能算到的范围之内，哥德巴赫猜想全是对的。’

奇数的哥德巴赫猜想

相对来讲，奇数的猜想比较容易，因为它是偶数的猜想的推论。如果每个大偶数都能写成两个素数之和，那么我们就能够证明任何大奇数都是三个素数之和，因为任何奇数减去3都是一个偶数。

关于哥德巴赫猜想的研究，历史上第一个重要文献是哈代(G. H. Hardy)和李特伍德(J. E. Littlewood)1921年的伟大论文，在这篇长达70页的文章里，他们提出了圆法。哈代在英国皇家学会演讲时说：“我和李特伍德的工作是历史上第一次严肃地研究哥德巴赫猜想”，虽然此前很多有名的数学家都研究过这个猜想，甚至有人宣布证明了猜想。然而，哈代和李特伍德对奇数猜想的证明依赖于一个条件——广义黎曼(B. Riemann)猜想——这个猜想到现在也未被证明。在英国人看来，哈代重振了牛顿(I. Newton)以后的英国分析。

1937年，俄国数学家维诺格拉多夫(I. M. Vinogradov)无条件地基本证明了奇数的哥德巴赫猜想。维诺格拉多夫定理指出，任何充分大的奇数都能写成三个素数之和。也就是说，在数轴上取一个大数，从这个数往后看，哥德巴赫猜想都对;在这个数前面的奇数，需要用手或计算机来验证。然而，至今计算机还未能触及那个大数。

维诺格拉多夫的证明发表之后，又出现了几个新证明。这些证明既简洁，又提供了完全不同的方法。在这些新证明中，有三个特别应该强调的：一个是俄国数学家林尼克(Yu. V. Linnik)的，再一个是潘承彪先生的;还有英国数学家沃恩(R. C. Vaughan)的。在相当长的一个阶段内，人们认为林尼克是离哥德巴赫猜想很近的人，他对哥德巴赫猜想进行了深入的研究。与此同时，他还是一个很好的数理统计学家。

偶数哥德巴赫猜想

很遗憾，偶数的哥德巴赫猜想到现在都没有得到证明。但是，数学家们从各个方向逼近这个猜想，并且取得了辉煌的成就。我将介绍研究偶数的哥德巴赫猜想的四个途径，其中几乎每个途径都有潘老师的工作。这四个途径分别是：殆素数，例外集合，小变量的三素数定理，以及几乎哥德巴赫问题。

途径一：殆素数

殆素数就是素因子个数不多的正整数。现设N是偶数，虽然现在不能证明N是两个素数之和，但是可以证明它能够写成两个殆素数的和，即N=A+B，其中A和B的素因子个数都不太多，譬如说素因子个数不超过10。现在用狖a+b狚来表示如下命题：每个大偶数N都可表为A+B，其中A和B的素因子个数分别不超过a和b。显然，哥德巴赫猜想就可以写成狖1+1狚。在这一方向上的进展都是用所谓的筛法得到的。

1920年，布朗(V. Brun)首先取得突破性的进展，证明了命题狖9+9狚。后续进展如下：哈德马赫(H. Rademacher)，1924，狖7+7狚;艾斯特曼(T. Estermann)，1932，狖6+6狚;里奇(G. Ricci)，1937，狖5+7狚;布赫施塔伯(A. A. Buchstab)，1938，狖5+5狚;布赫施塔伯，1940，狖4+4狚;库恩(P. Kuhn)，1941，a+b小于或等于6。1950年，菲尔兹奖得主塞尔伯格(A. Selberg)改进了筛法。王元先生1956年证明了狖3+4狚。另一个俄国数学家阿·依·维诺格拉多夫(A. I. V inogradov)1957年证明了狖3+3狚，王元先生1957年进一步证明了狖2+3狚。

上述结果有一个共同的特点，就是a和b中没有一个是1，即A和B没有一个是素数。所以，要是能证明a=1，再改进b，那就是一件更了不起的工作。林尼克1941年提出来的大筛法使得这项工作成为可能。后来，林尼克的学生、匈牙利数学家兰易(A. Rényi)深入地研究了大筛法，并在1948年证明了命题狖1+b狚。用王元先生的话说，这个b是个天文数字。当时，没有人知道b究竟有多大。这个b的数值依赖于素数在算术级数中平均分布的水平，即另外一个重要常数θ的值。

此后便是潘承洞先生的伟大工作。1962年，28岁的潘承洞定出θ可以取1/3，从而推出命题狖1+5狚，一下子把b从天文数字降到了5。这是一个决定性的突破。王元先生改进筛法之后，证明了狖1+4狚。同一年，潘老师又得到了一个更大的θ=3/8。从3/8出发，潘老师也证明了狖1+4狚。然后，布赫施塔伯证明了3/8蕴涵命题狖1+3狚，即从潘老师的θ=3/8可以推出命题狖1+3狚来。以上结果表明，θ做得越大，b就越小。但θ不能太大，其可能的最大值是1/2;比1/2再大，均值定理的形式就会发生变化，所以可以认为1/2是最佳。1965年，θ的最佳值1/2被取到，这个定理就叫做庞比埃里-维诺格拉多夫(E. Bombieri--A. I. Vinogradov)定理，是庞比埃里和阿·依·维诺格拉多夫独立证明的。庞比埃里是意大利数学家，因为这项工作获得了菲尔兹奖。虽然庞比埃里证明了θ能取到1/2，但是他未能证明狖1+2狚。

命题狖1+2狚的证明是陈景润先生完成的。1966年，陈景润先生在《科学通报》上登了命题狖1+2狚证明的简报，此后“文化大革命”开始，《科学通报》与《中国科学》随即停刊。直到1973年《中国科学》复刊之后，陈先生狖1+2狚证明的全文才得以发表。