以上是沿着殆素数方向研究哥德巴赫猜想的进展。直到现在，狖1+2狚还是最好的结果。虽然突破狖1+2狚就会得到狖1+1狚，但是大家公认再用筛法去证明狖1+1狚几乎是不可能的，只有发展革命性的新方法，才有可能证明狖1+1狚。所以，哈伯斯坦(H. Halberstam)与里切特(H. E. Richert)在他们的名著《筛法》(Sieve Methods)的最后一章指出：“陈氏定理是所有筛法理论的光辉顶点。”

途径二：例外集合

在数轴上取定大整数x，再从x往前看，寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数，即例外偶数。x之前所有例外偶数的个数记为E(x)。我们希望，无论x多大，x之前只有一个例外偶数，那就是2，即只有2使得猜想是错的。这样一来，哥德巴赫猜想就等价于E(x)永远等于1。当然，直到现在还不能证明E(x)=1;但是能够证明E(x)远比x小。在x前面的偶数个数大概是x/2;如果当x趋于无穷大时，E(x)与x的比值趋于零，那就说明这些例外偶数密度是零，即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。这就是例外集合的思路。

维诺格拉多夫的三素数定理发表于1937年。第二年，在例外集合这一途径上，就同时出现了四个证明，其中包括华罗庚先生的著名定理。现在，我每个月都要接见几个业余搞哥德巴赫猜想的人，其中不乏有人声称“证明”了哥德巴赫猜想在概率意义下是对的。实际上他们就是“证明”了例外偶数是零密度。我告诉他们，这个结论华老早在60年前就真正证明出来了。

注意，我们的目标是证明E(x)的上界是x的零次方，然而1938年E(x)上界的世界记录基本上是x的1次方，二者相差很远。因此降低该上界中x的方次将是一件很重要的事。1975年，蒙哥马利(H. L. Montgomery)与沃恩证明存在一个小于1的正数δ，使得E(x)的上界是x的δ次方。1979年，潘老师与陈景润先生合作，证明了这个δ可以取0.99。按照陈先生和潘老师的思路，后来有很多人都改进了δ的值。目前最好的结果是李红泽教授2000年得到的，δ可以取0.92。

在广义黎曼猜想之下，哈代和李特伍德证明了δ可取1/2。就是说，即使能够证明广义黎曼猜想，我们也不能进而推出哥德巴赫猜想。最近，我与叶扬波教授合作，利用广义黎曼猜想和L-函数零点分布的统计规律猜想，进一步推进了例外集合的上界，证明了E(x)不超过lo g x的平方。请注意，与x的任何δ次方相比，log x增长都是很慢的。因此我们的结果指出，E(x)小于x的任何δ次方。

但是我们毕竟没能证明哥德巴赫猜想。到目前为止，猜想研究的现状仍然可以用潘老师生前的一句话来概括，即“哥德巴赫猜想甚至没有一个假设性的证明。”哈代1921年在皇家学会演讲时指出：“哥德巴赫猜想似乎不能用布朗的方法(即筛法)来证明。”他说：“能够最终证明猜想的方法，应该与我与李特伍德的方法类似。我们不是在原则上没有成功，而是在细节上没有成功。”哈代同时还指出，不是圆法无力，而是他与李特伍德的分析能力不够。作者认为，更高阶的L-函数应该是哈代和李特伍德所需要的分析工具;或许，将高阶的L-函数融入圆法就会最终证明哥德巴赫猜想。

途径三：小变量的三素数定理

上文曾经提到，如果偶数的哥德巴赫猜想正确，那么奇数的猜想也正确。我们可以把这个问题反过来思考。已知奇数N可以表成三个素数之和，假如又能证明这三个素数中有一个非常小，譬如说第一个素数可以总取3，那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想。这个思想就促使潘承洞先生在1959年，即他25岁时，研究有一个小素变数的三素数定理。这个小素变数不超过N的θ次方。我们的目标是要证明θ可以取0，即这个小素变数有界，从而推出偶数的哥德巴赫猜想。潘承洞先生首先证明θ可取1/4。后来的很长一段时间内，这方面的工作一直没有进展，直到1995年展涛教授把潘老师的定理推进到7/120。这个数已经比较小了，但是仍然大于0。

途径四：几乎哥德巴赫问题

1953年，林尼克发表了一篇长达70页的论文。在文中，他率先研究了几乎哥德巴赫问题，证明了，存在一个固定的非负整数k，使得任何大偶数都能写成两个素数与k个2的方幂之和。这个定理，看起来好像丑化了哥德巴赫猜想，实际上它是非常深刻的。我们注意，能写成k个2的方幂之和的整数构成一个非常稀疏的集合;事实上，对任意取定的x，x前面这种整数的个数不会超过log x的k次方。因此，林尼克定理指出，虽然我们还不能证明哥德巴赫猜想，但是我们能在整数集合中找到一个非常稀疏的子集，每次从这个稀疏子集里面拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去，这个表达式就成立。这里的k用来衡量几乎哥德巴赫问题向哥德巴赫猜想逼近的程度，数值较小的k表示更好的逼近度。显然，如果k等于0，几乎哥德巴赫问题中2的方幂就不再出现，从而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。

林尼克1953年的论文并没有具体定出k的可容许数值，此后四十多年间，人们还是不知道一个多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的论证，这个k应该很大。1999年，作者与廖明哲及王天泽两位教授合作，首次定出k的可容许值54000。这第一个可容许值后来被不断改进。其中有两个结果必须提到，即李红泽、王天泽独立地得到k=2000。目前最好的结果k=13是英国数学家希思-布朗(D. R. Heath-Brown)和德国数学家普赫塔(Puchta)合作取得的，这是一个很大的突破。

一个数学家的价值

以上缅怀了潘承洞先生的部分工作，以及哥德巴赫猜想研究的最新进展。最后，我想引用哈代《一个数学家的自白》中的几句话，来总结作为数学家的潘承洞先生的生平。哈代说：

“人的首要责任就是要有雄心。在拿破仑的雄心中有某些高贵的因素，但是最高贵的雄心，就是要在死后留下具有永久价值的东西。”

《一个数学家的自白》结尾写道：

“我的一生，或者在相同意义上作为数学家的那些人的一生，可以这样总结：我们丰富了知识，也帮助别人更多地丰富了知识，而我们所做的这一切，与那些历史上的大数学家和艺术家的不朽贡献相比，只有程度的不同，没有本质的差异。”

哈代的朋友罗素说过：

“我希望在工作中满足地死去，因为我清楚地知道，所有能做的事都已完成，而且会有后人继续我未竟的事业。”

潘承洞老师永垂不朽，因为他的事业永垂不朽。

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