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──“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”初中第六次课题会议成果综述

人民教育出版社中学数学室　李海东

摘　要：本文通过对二元一次方程组和反比例函数的教学中数学思想方法的剖析，阐述了数学思想方法隐喻性、层次性、活动性、过程性的特点，并提出要结合引入过程、问题设计、小结等环节加强数学思想方法的教学.

关键词：数学思想方法;教学设计

“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”初中第六次课题会议，于2010年4月8～10日在江苏省南通市召开。本次会议与人教版初中数学课标教材修订工作征求意见会同时举行。参加本次课题会研究课和评课活动的代表，除课题组成员外，还有部分人教版初中数学课标教材培训讲师团的成员，南通市初中数学教师等共200多人。

本次会议以“消元──二元一次方程组的解法”为题，由北京五中分校曹自由老师、山西省阳泉市第十九中学翟秀蕊老师各上了一堂现场研究课;以“反比例函数的图象和性质”为题，由天津市新华中学李庆老师、江苏省南通市第一初级中学许磊老师各上了一堂现场研究课。这两个课题都是常规的教学内容，内容看似简单，但其中蕴含着丰富的数学思想方法。在研究课后的评课、讨论环节，除了对教学设计和课堂教学的成败得失进行了客观的分析点评外，很多老师都谈到了这两个课题所蕴含的思想方法。会后，课题组成员的反思文章中，思想方法也是大家主要研究的内容。现将本次会议会上讨论和会后反思的成果整理出来，以供研究和讨论。

一、对数学思想方法的认识

“数学思想方法”一词，在数学教育、数学教学领域已被广泛使用。对于什么是数学思想方法，数学家和数学教育工作者有诸多论述。概括起来，大家通常是从“数学思想”和“数学方法”两个角度进行阐述的。数学思想是对数学对象的本质认识，是从某些具体的数学内容(如概念、命题、规律)和数学认识过程中提炼出来的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。数学方法是指数学活动中所采用的各种方式、手段途径、策略等。

数学知识、数学方法、数学思想是数学知识体系的三个层次，它们相互联系，协同发展。数学知识是数学思想方法解决问题所依附的材料;数学方法是解决问题的途径、手段，是数学思想发展的前提;数学思想是一类数学方法本质特征的反映，是数学方法的灵魂。数学思想和数学方法是紧密联系的，通常，在强调数学活动的指导思想时称数学思想，在强调具体操作过程时则称数学方法。

对于中学数学中常用的数学思想方法，数学家和数学教育工作者的表述也不尽相同。概括起来，可以分为两类。一类是科学思想在数学中的应用，如分类讨论、分析与综合、归纳与演绎、类比、化归思想等;另一类是数学学科特有的思想方法，如符号与变元表示、模型化、集合与对应、公理化与结构化、数形结合、函数与方程、极限、算法与程序化、概率统计的思想方法等等。

数学思想方法的学习和领悟能使学生所学的知识不再是零散的知识点，它能帮助学生形成有序的知识链，建立良好的认知结构;它是铭记在人们头脑中起永恒作用的数学观点和文化，是使学生提高数学思维水平，建立科学的数学观念，从而发展数学、运用数学的保证。因此必须重视数学思想方法的教学。在初中数学教学中，数学思想方法的教学可分为三个层次：渗透、介绍和突出。渗透，就是要在具体的数学知识的教学中，融进某些抽象的数学思想方法，使学生对这些思想方法有一些初步的感觉或直觉。例如，对于集合与对应、公理化与结构化、极限、算法与程序化的思想方法等。介绍，就是要把某些数学思想方法在适当时候引进到数学知识中，使学生对这些思想方法由初步的理解，有一定的理性认识。例如，对符号与变元表示、模型化、数形结合、函数与方程、概率统计、分类、化归的思想方法等。突出，就是要在介绍的基础上经常性地予以强调，使学生能加以运用。初中数学教学中要突出的有数形结合、函数与方程、化归的思想方法等。当然，随着学生学习的不断深入，对数学思想方法的要求也是不断深入的。例如算法的思想方法在初中阶段可以结合解方程(组)等进行“渗透”，到了高中就要求是“介绍”甚至“突出”的层次了。

二、做好内容解析，析出教学内容蕴含的数学思想方法

除“核心概念”外，“思想方法”也是本课题研究的重点内容，数学思想方法具有隐喻性的特点，它隐于知识内部，要经过反复体验才能领悟和运用。数学思想方法的教学，首先需要从对教学内容的分析入手，析出其中蕴含的数学思想方法。课题组的教学设计框架中第一条就是“内容和内容解析”，其用意不仅是要在揭示概念内涵的基础上，说明概念的核心，对概念在中学数学中的地位进行分析，还要求对其中隐含的数学思想方法做出明确表述。这就要求我们要理解教学内容所反映的数学思想方法。

1.“二元一次方程祖的解法”教学中的数学思想方法分析。

在学习这部分内容之前，学生已学习了一元一次方程，那时要解的是含有一个未知数的一个方程。对于“如何解由含有多个未知数的多个方程组成的方程组”的新问题，自然可以联想到相关的“解含有一个未知数的一元一次方程”的老问题，这是非常自然的思考方法。怎样解决新问题呢?首先就是要设法把复杂的新问题转化为老问题形式，这就是化未知为已知、化复杂为简单、化陌生为熟悉、化困难为容易的化归思想。这里将新问题转化为老问题就是要将含多个未知数的多个方程，转化为含有一个未知数的一个方程，先求出一个未知数，再逐步扩大战果，求出其余未知数。这也是非常自然的思考方法，这种“将未知数的个数由多化少、逐一解决”的思想就是消元思想。确立了解决问题的思路，接下来就是如何实现消元了，也就产生了代入与加减两种消元的方法。而为了实现“代入”与“加减”，还需要具体的代数的恒等变换的方法。

“消元——二元一次方程组的解法”的教学中蕴含的思想方法体现了数学思想方法的层次性的特点，这种层次也反映了对数学内容本质的认识的概括程度的高低。这里，化归是第一个层次，消元是第二个层次，代入和加减是第三个层次，恒等变换是第四个层次。从培养学生良好的思维习惯和方法的角度看，本节课的教学不仅要让学生学会用代入法或加减法解二元一次方程组，更重要的是要引导学生产生和理解消元思想，体会解决新问题的过程(化归)。消元是学生自觉地、主动地理解和掌握代入法、加减法等具体解法的基础，也是避免死记硬背解法程序的关键。

2.“反比例函数的图象和性质”教学中的数学思想方法分析。

反比例函数的图象和性质，蕴含着数形结合、变化与对应、类比、转化等丰富的数学思想方法。

首先，反比例函数图象和性质，本身就是“数”与“形”的统一体.通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质，体现了数形结合的思想方法。反比例函数是自变量和因变量之间具有反比例关系的函数，无论从其概念，还是其性质(在某一象限内，y随x的增大而增大或减小)都体现了变化与对应的函数思想。研究反比例函数的图象与性质时，由“解析式(确定自变量取值范围)”到“作图(列表、描点、连线)”，再到“性质(观察图象探究性质)”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，这种函数解析式及性质与函数图象之间的联系，体现了两者间的转化对分析解决问题的特殊作用，是转化思想的具体应用。

另外，从研究方法上来看，反比例函数的学习也体现了研究函数的一般套路和方法，是继一次函数学习之后的再一次强化。教材中呈现的不论是“函数概念——函数的图象和性质——函数的实际应用”的整体结构，还是具体研究函数概念、函数图象和性质的处理也都是一脉相承的。这种同构对于学生明确学习任务，建立完善的认知结构也将是非常有意义的。正因为如此，研究反比例函数的图象和性质可以类比研究正比例函数的图象和性质来进行。需要注意的是，这里的类比不仅仅有研究内容的类比(包括自变量的取值范围，函数图象的形状、位置，函数的增减性等)，更重要的是研究方法的类比，也就是数形结合地研究函数图象与性质的“三步曲”(画出函数图象→从图象上观察函数的性质→用数学语言描述这些性质)。要注意，类比不仅仅要关注“同”，也要关注“异”，“异”才是体现某一知识本质属性的东西。例如，反比例函数图象的不连续性是其与正比例函数图象的一个不同点，它也是反比例函数需要在不同象限内分别讨论增减性的原因，这也是本课学生的认知难点。解决这一难点的办法是要回到解析式上(x≠0)，而这正是从“形”到“数”，这也是数形结合的思想方法的体现。

三、精心设计教学过程，有意识地进行数学思想方法教学