所谓图形变换手段化就是将图形变换作为探索解题思路、发现解题方法的一种手段。新课程下的初中数学增加了图形变换的内容，特别是平移、旋转和轴对称三种全等变换为学生解决几何问题打开了一扇找到解题思路和方法的窗户。平移、旋转和轴对称三种变换的共同特点是改变图形位置的同时，保证图形变换前后的对应元素的大小不发生变化。平移能够将图形的各元素沿着某一方向平行移动，旋转能够将图形的各元素绕着某一点沿着顺时针或逆时针的方向转动，轴对称能够将图形的各元素沿着某条直线翻转180?/SPAN>。平移、旋转和轴对称三种变换在几何问题中各自发挥不同的作用。

例3　如图9所示，在正方形ABCD中，E在BC边上移动，∠EAF=45?/SPAN>，AF交CD于F，连接EF。

求证：EF=BE+DF。

图9

这道题对大多数学生来说解决起来是比较困难的，因为需要添加辅助线。如何添加辅助线是几何教学的难点，要证EF=BE+DF，就需要将分散的线段BE，DF集中到一起，如果恰当地运用旋转变换，将△ADF绕点A顺时针旋转90?/SPAN>，如图10所示，就可将BE和DF转化到同一直线上，得到线段BE与DF的和，进而将三条线段EF，BE，DF构造到一对全等三角形中。于是就轻而易举地得到如下辅助线引法和证明思路：延长CB到M，使BM=DF，连接AM，如图11，可得ME=BE+DF，于是只要证明△AEM≌△AEF，问题就迎刃而解了。

图10

图11

可见，将图形变换作为探索解题思路、发现解题方法的一种手段是论证几何教与学的重要策略之一，把握好平移、旋转和轴对称的特征，恰当地利用平移、旋转和轴对称变换能大大提高学生解题的能力，有利于学生空间想象力的形成与发展。

七、问题设计开放化

所谓问题设计开放化就是改变常规封闭问题的呈现形式，不直接给出问题的结论或使问题的条件不完备，问题的结论由学生设计或问题的条件由学生探究完成。问题设计开放化体现了新课程理念，体现了教师以学生为中心的教学观。教师要注意开放度，既要大胆地“放”，把时间留给学生，让学生有机会去尝试问题设计，又要善于把握全局，凡是学生能提的问题，教师决不代替;凡是学生能思考的问题，教师决不暗示;凡是学生能解决的问题，教师决不插手，真正做到适时而“放”，提高“放”的整体效率。问题的设计开放化可以增强学生学习的内驱力，有效地激发学生敢于思考问题、主动参与知识的建构过程，有利于激发学生的好奇心和求知欲;问题设计开放化可以改变原有的封闭思维模式，促进学生思维的发展。

例4　如图12，P为Rt△ABC所在平面内一点(不在直线AC上)，∠ACB=90?/SPAN>，M为AB边中点。

操作：以PA，PC为邻边作平行四边形PADC，连接PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE。

图12

探究：请猜想与线段DE有关的三个结论，并给予证明。

本题将问题设计的机会留给学生，让学生展开合理的联想，并根据自己的认知起点和学习经验，从多角度、多方位、多层次进行思考，既体现了学生的个性化学习，又体现了学生之间的合作学习，有利于学生良好思维品质的形成。

八、问题结论推广化

所谓问题结论推广化就是将某些特殊条件下成立的结论，推广为一般条件下成立的结论。在问题结论推广化的过程中，不仅教给学生归纳推理、类比推理的方法，还要向学生渗透由特殊到一般的思想。在问题结论推广的过程中，教师要避免越俎代庖的现象发生，应尽力让学生经历归纳和类比、猜测和发现、探索和证明等过程，让学生成为问题推广的真正主体，让学生体会到有许多变化的条件和图形中往往蕴含着恒定不变的几何规律。在问题推广的学习过程中，往往学生收获的不仅仅是学会一个问题，而是学会一类问题，这样学生就可以跳出题海，提高学习效率，从而减轻学生的学习负担。

例5　如图13(1)、13(2)、…、13(m)是边长均大于2的三角形、四边形……凸n边形。分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧……n条弧。

(1)图13(1)中3条弧的弧长的和为______，图13(2)中4条弧的弧长的和为______;

(2)求13(m)中n条弧的弧长的和(用n表示)。

图13

问题结论推广的例子很多，教师在平时教学中应反复去引导学生进行联想、类比、探索、发现、证明，让学生逐渐形成问题结论推广的意识(当然，不是所有的问题都能推广)。掌握问题结论推广化策略将有助于学生发现规律，提高学习效率，形成创新意识，提高创新能力。

总之，论证几何是几何教学的核心，也是几何教学的难点，只有采取有效的教学策略，才能提高论证几何教与学的效率，才能提高学生的逻辑思维能力。

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