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【摘要】空间角是立体几何中一个重要概念，它是空间图形的一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现。解决立体几何问题的关键在于“三定”：定性分析→定位作图→定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量则是定位、定性的深化。在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般来说，对其平面角的定位是问题解决的先决一步，故对二面角的平面角的定位是关键。

【关键词】平面角;定性分析;定位作图;定量计算;点;垂线段;垂平面PositioningAnalysisonthedihedralangleof

【Abstract】Three-dimensionalgeometryofspaceangleisanimportantconcept,whichisaprominentspacegraphicsquantitativeindicators,therelationshipbetweenspatiallocationofaconcreteembodimentofgraphics.Three-dimensionalgeometrytosolvetheproblemliesin"determiningthreethings":aqualitativeanalysis→locationmapping→quantitativecalculation,whichisthelocationofqualitativeandquantitativebasisandisthelocationofquantitative,qualitativeindepth.Inallthingsrelationship,thedihedralangleisoneoftheimportantconceptsinone,itcomesdowntoflattopcornerofthemetricmeasurement,ingeneral,theirplaneanglepositioningisaprerequisitestepinproblem-solving,sopairsofdihedralangleTheplaneanglepositioningisthekey.

【Keywords】Planeangle;Qualitativeanalysis;Locationmapping;Quantitativecalculation;Point;Verticalsection;Verticalplane1

二面角的平面角的特征

α、β是由出发的两个半平面,O是l上任意一点，OCα，且OC⊥l;CDβ，且OD⊥l。这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角。

它有如下列特征：

(1)过棱上任意一点，其平面角是唯一的;

(2)其平面角所在平面与其两个半平面均垂直;

另外，若在OC上任取上一点A，作AB⊥OD于B,则由特征(2)知AB⊥β.通过l、OA、OB、AB，之间的关系，便得到另一特征;

(3)：体现出三垂线定理(或逆定理)的环境背景。

2二面角的平面角的特征剖析

由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线(面)”的问题。

特征(1)表明：其平面角的定位可先在棱上取一“点”，但这点必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。

特征(2)指出：如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ与α、β的交线，则交线所成的角即为α-l-β的平面角，：

由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。

特征(3)显示：如果二面角α-l-β的两个半平面之一，存在垂线段AB，由B作OB⊥l于O，连OA，由三垂线定理可知OA⊥l;或由A作OA⊥l于O，连OB。由三垂线逆定理可知OB⊥l。此时，∠AOB即为二面角α-l-β的平面角。

由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”.

以上三个特征提供的思路在解决具体问题时各具特色，其目标是分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而至.掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。

3二面角的平面角的定位分析

[例1]：已知E是矩形ABCD边CD的中点，且，CD=2，BC=1，现沿AE将△DAE折起至△D′AE，使得D′到B、C两点的距离相等，求二面角D′-BC-A的大小。

解析：取AE中点P，BC中点Q.则可得PQ⊥BC，又由D′B=D′C，得D′Q⊥BC，

∴∠D′QP是二面角D′-BC-A的平面角。

经计算得：∠D′QP=23

找“点”，由定义确定二面角的平面角。

[例2]：矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线AC把△ABC折起，使点B在平面ADC内的射影B′恰好落在AD上，求二面角B-AC-D的大小。

解析：这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后“变”与“不变”。

在平面图形中过B作BE⊥AC交AC于O、交AD于E，则折叠后OB、OE与AC的垂直关系不变.但OB与OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱AC垂直。由特征(2)知，面BOE与面BAC、面DAC的交线OB与OE所成的角∠BOE，即为所求二面角的平面角。

另外，点B在面DAC上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在AD上,所以E点就是B′点，这样的定位给下面的定量提供了便捷条件。

经计算：OB=AB·BCAC=3×45=125，AO=AB2AC=95，OE=AO·CDAD=2720，