在Rt△BEO中，设∠BOE=θ，则cosθ=OEOB=916，

∵0°<θ<180°，∴θ=arccos916，

即所求二面角B-AC-D为arccos916，

通过对[例2]的定性分析、定位作图和定量计算，由特征(2)从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，依题目条件，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相呼映，不仅便于定性、定位，更利于定量。

由“垂线段”定位二面角的平面角。

[例3]：已知二面角α-a-β为，PA⊥α于A，PB⊥β于B，且PA=8cm，PB=10cm.求P点到a的距离。

解析：过PA、PB作平面γ，分别与α、β交于AO、BO，

由PA⊥α，a?α，知PA⊥a，又由PB⊥β，a?β，知PB⊥a，因此，a⊥平面γ，

∵AO?，BO?，∴a⊥AO，a⊥BO，

∴∠AOB为二面角α-a-β的平面角，即∠AOB=120°，

连PO，由PO?，得a⊥PO.∴PO的长为P点到a的距离。

经计算：AO=43(cm)，PO=PA2+AO2=82+(43)2=47(cm).

由棱的“垂面”定位二面角的平面角。

[例4]：在正方体ABCD-A′B′C′D′中，棱长为2，E为BC的中点.求面B′D′E与面BB′C′C所成的二面角的大小。

解析：面B′D′E与面BB′C′C构成两个二面角，由特征(2)知，这两个二面角的大小必定互补.通过特征(3),我们只须由C′(或D′)作B′E的垂线交B′E于H，然后连结HD′(或HC′),即得面B′D′E与面BB′C′C所成二面角的平面角∠C′HD′(三垂线定理)。

经计算可得：H′C′=455，在Rt△D′C′H中，∠D′HC′=D′C′H′C′=52，

故所求的二面角角为arctan52或π-arctan52.

二面角的三个特征，虽然客观存在，互相联系，但在许多问题中却很难通过直观图反映出来，这就需要我们培养良好的空间思维想象能力，正确定位。

[例5]：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求截面AD1E与底面ABCD所成角的正切值。

解析：图中截面AD1E与底面ABCD只给出一个公共点，没有直接反映出二面角的棱，因此还需找出它与底面的另一个公共点.通过补形作出棱，进而再求二面角的大小。

延长DC、D1E交于F，连AF，得截面AD1E与底面ABCD相交所得棱AF，AF交BC于G，过C作CH⊥AF于H，连EH，

∵EC⊥面ABCD，CH⊥AF，∴EH⊥AF(三垂线定理)

∴∠EHC即为所求截面AD1E与底面ABCD所成二面角的平面角.

可设正方体棱长为a，经计算得：EC=CG=a2，CF=a，GF=52a，CH=，55a

∴tan∠EHC=ECCH=52，

即所求二面角的正切值为52.

[另]：△D1FA在底面ABCD的射影是△DFA，

S△DFA=12DF×DA=a2，又D1A=2，S△D1FA=12D1A×322a=32a2，

由射影面积法，所求角(记为θ)的余弦值为cosθ=S△DFAS△D1FA=23，

则所求二面角的正切值为52。

[另]：还可用向量法求二面角的平面角。

定位是为了定量，二面角的计算是通过其平面角所在的三角形计算而得.而作平面角也是由其基本定义出发，在棱上找一点，在半平面内找一点，或在二面角内找一点，从这点出发作棱的垂线或垂面而得。如果二面角的棱在图中没有出现，可采取补形等办法作出二面角的棱。

综上所述，二面角其平面角的正确而合理的定位，要在其正确其定义的基础上，掌握其三个基本特征，并灵活运用它们考察问题的环境背景，建立良好的空间思维，以不变应万变

精品学习网 数学论文栏目