这样一来就出现了这样的问题：组成面积的线段是不是有一定数量的宽度，组成体积的面是不是有一定数量的厚度呢?刘徽对此没有明说，考虑到他的割圆术和阳马术注中表现出的无限分割思想，我们认为这些线段或截面是被当做没有具体数量的宽度或厚度的来对待的。否则由这些具有一定数量的宽度或厚度的线段或面积，是不能构成真正理想的三角形或圆锥这一类图形的[⑥]。这样一来则又出现了这样的问题：我们现在都说零加零还是零，刘徽能毫不迟疑地认为这样一些线段或面积可以积为面或体吗?

我们认为，这在刘徽那里，并不会存在什么困难。前面已经说过这种观念来源于对实际经验的抽象，这是中国古代数学的传统。从墨家和刘徽自己处理圆及阳马术问题的观念看，无限分割最后会得到一种没有具体数量的量度的东西，它是原来图形的组成部分,这当然有助于形成和接受点积为线、线积为面、面积为体的思想。而墨家“儇秪”的命题，认为环在地上滚动与地都接触，把环上的点和直线上的点对应起来，这也是很容易促成接受线由点组成的思想的。再者，从道论和魏时王弼“贵无”的哲学角度看，这种思想也是容易接受的。道论认为“有”能从“无”中生出来，又会复归于“无”，道(“无”)这样无限小的东西和有限的东西具有一定的可比性，有限和无限是能沟通起来的。在这种情况下，点积为线、线积为面与面积为体是可以理解的。刘徽的这种观念还能由司马彪的思想得到映证。

《庄子·天下》记载惠施有“无厚不可积也，其大千里”的命题。钱宝琮的解释为“积累线段不能成面，积累面不能成体”[21]。这是一种不可分量不可积的观念。司马彪给这个命题作注时说“物言形为有，形之外为无，无形与有相为表里。故形物之厚，尽于无厚，无厚与有同一体也。其有厚大者，其无厚亦大。高因广立，有因无积”[22]。说“有厚”和“无厚”的关系如同表里，他似乎是从物体(“形物”也就是“有厚”)的边界来考虑“无厚”的，这样就形象地把“有厚”和“无厚”联结起来，进而他认为“无”可以积为“有”。司马彪卒于晋惠帝末年，时年六十有余[23]，可见他生于245年前后，和刘徽大致同时而稍晚[⑦]。这反映出当时认为“无厚”的东西可以积为“有厚”之物的思想，不仅比较符合直观，而且是在当时“贵无”的玄学思想氛围之下比较容易形成和接受的一种观念。

3从有限过程看刘徽的无限思想

3.1刘徽的求微数法《九章算术》“少广”章的开(平)方术有“若开之不尽者，为不可开，当以面命之”[24]的话，开立方术也有类似的话。刘徽作注也相应发表了一些看法。对此，有人认为中算家懂得存在开方不尽的新数，这种数称为“面”，相当于定义了一个无理数。这种观点证据是不足的，但推翻了传统认为的“以面命之”是“以定法加借算”或“不加借算”的错误观点。李国伟论证了“‘面’的使用并没有硬性规定限制在不可开的情形，‘开尽’与‘开不尽’的区别，除了反映有些是平方数、有些不是平方数外，似乎还没有引导出对更深层次差异的认识”[25]。的确，“面”只是利用对开方的几何解释定义的一个方根，这从刘徽给开(平)方作注时说的：“求方幂之一面也”[26]，和给开立方术作注时说的：“立方适等，求其一面也”[27]，可以明白地看出来。而刘徽针对“开之不尽”的情况所说的“令不加借算而命分，则常微少;其加借算而命分，则又微多。其数不可得而定。……故惟以面命之，为不失耳”[28]，也只是说明刘徽认识到“加不加借算命分”都得到的不是精确值，只有就用被开方数的方根表示才是精确的，至于是不是一定不存在其他任何精确的表示，则语焉不详(反正他没有找到)。如果说《九章》只是认识到开方存在着不同的情况的话，刘徽和他的前人则对这些情况进行了讨论。前人提出“以借算加定法而命分”的方法,刘徽认为“虽粗相近,不可用也”[29]，他又考虑到“不加借算而命分”和“加借算而命分”都不精确，总是比精确值要么多一点，要么少一点，“其数不可得而定”，这说明刘徽比前人更深一层地认识到要精确表示“不可开”数的方根的困难。接着他提出一种更为精确的表示方根近似值的方法，即求微数法:“不以面命之，加定法如前，求其微数。微数无名者以为分子，其一退以十为母，其二退以百为母。退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之”[30]。这里有两点值得注意，一是刘徽求微数法是“不以面命之”的一个方法，刘徽既以为“惟以面命之，为不失耳”，则他自己当不以求微数法为完全精确的方法。其次，他认为求微数一直求下去被弃的数就会越来越小，求出来的方根就会越来越接近真实值。但是他并没有无限进行下去，而是在还余下一个“不足言之”的数时就停了下来，所以有人说求微数法是用十进分数无限逼近方根，这是不对的。刘徽既弃掉一个“不足言之”的数，又认为求微数法不是完全精确的方法，当然求微数法就不可能是无限逼近方根的。也就是说刘徽的求微数法虽然可以无限地进行下去，但他只进行到能达到所需精度的有限步就停了下来。

可见，刘徽虽然对开方不尽的问题理解比前人深刻，但中国古代数学太注重于实际的传统的确是限制了对理论问题作更深层次的探讨，因而也阻碍了无理数的发现。当然，能否发现无理数还与刘徽“一者数之母”的观念有密切关系。

郭书春认为刘徽“一者数之母”的观念“使他可以毫无顾忌地求任何数的精确值或精确近似值,甚至开方不尽时,求十进分数”，这样就关上了“彻底认识无理数的大门”[31]。李国伟则认为“通过彻底追寻公度的单位，才会体认出不可公度的矛盾”,“如果刘徽真正能彻底坚持‘一者数之母’的主张,也许就能明确的界定出不可公度量的特性”[32]。应该指出，这两种观点并没有实质性的对立，只是考虑问题的角度不同而已。让我们来考察一下刘徽的思维取向吧。

“一者数之母”的主张，不是从来就有的。中国古代广泛存在着“一以统众”的思想，如《管子·轻重》提出“天下之数，尽于轻重”[33]，把古代统治者所推行的政治和经济措施，全用“轻重”(“轻重”原指钱币的轻重，此书“轻重”已广泛用于表示各种数量关系[34])二字统御起来;而道论更是把一切都置于道的统领之下，至王弼他一方面说“演天地之数，所赖者五十。其用四十有九，其一不用也;不用而用以通之，非数而数以之成，即易之太极也”[35]，认为“一”是统一包括数在内的一切的“太极”而“一”本身不是数;一方面又说“一，数之始而物之极也”，“一，少之极也”[36]，虽然这里已隐约含有“一为万物之母”而且“一”也可以是数的思想，但这是一种非常模糊的观念。刘徽在这种“一以统众”的思想氛围之下，从前人的思想和自己的数学实践中提炼和升华出“一者数之母”的原理来,这条原理,一旦在他的工作中得到大量的验证,而没有遇到什么困难,是很难想到要怀疑它的。中国古代数学以实用为目的的传统，大大削弱了探求理论基础的动力，而“一者数之母”作为古代数学的原理，正好消除了达到其目的时可能出现的顾忌。事实上,在求微数这个比较容易引导出无理数发现的问题上，中国数学和希腊数学的思维取向几乎是倒过来了，我们似不能指望刘徽在这个问题上完全摆脱其传统的阴影。因为要从开方程序的连续不断进行中寻求矛盾，这本身就是一个需要摆脱无限过程才比较好解决的问题，也就是说这里需要的是如何推导出与“一者数之母”矛盾的命题来。而要研究开方程序的无限进行到底会出现什么情况，需要耗费大量的精力去检验、考察开方到位数很多的情形，而在这些有限情况下获得的结论并不能保证在无限的情况下也能成立。至于对那种难以捉摸的对无限情况的想象，则更容易让人把握不住应该抓到什么来作为本质的基础的东西从而引出矛盾来。所以我们认为“一者数之母”的命题，对刘徽来说它消除了求微数法的后顾之忧，而从整个中国数学史的发展角度看，它则阻碍了无理数的发现。

当然，正如李氏已经提到的，要导致无理数的发现，还可能有别的途径，关键在于诱导出逻辑上的矛盾来。然而这既不是中国古代数学的传统，在中国思想史上也不占重要的地位。刘徽明显受墨、道、儒家的影响，但他似未受名家思想的影响。司马彪在给名家的一些命题作注时，往往带有道家和玄学的色彩，有时甚至是支持与名家相反的观点。如他给“轮不展地”作注时说“地平轮圆，则轮之所行者迹也”[37]，反而说轮是和地面接触的，轮过留下“迹”;又我们上面讲到的他注惠施“无厚不可积也”的命题时说了一大通，也是支持其反面的观点。