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摘要：该文包括两方面的内容。一是从无限分割过程、不可分量可积性、有限过程等几个方面重新考察了刘徽的无限思想，力图澄清此课题的研究中存在的若干误解。二是从中国古代数学传统，刘徽的思想渊源特别是他受墨家、道家和玄学思想的影响等方面对刘徽利用无限思想处理问题的方式进行解释。

在中国古代数学史上，刘徽的无限思想占有非常重要的地位。近年来关于刘徽无限思想的本身已有很多研究，对其思想渊源亦有一些论述，但仍有一些问题有待于进一步的探讨。本文拟在前人工作的基础上，重新考察刘徽的无限思想，并通过分析他所受的哲学思想的影响，来解释刘徽利用无限思想来处理问题的方式。

1刘徽注中的无限过程

刘徽直接用到无限过程的只有阳马术注和割圆术[1]。

1.1阳马术注中的无限过程刘徽在证明从一般情形下的一个堑堵(斜割长方体后所得的直三棱柱)中分割出来的阳马(一棱垂直于底的四棱锥)和鳖臑(各面为直角三角形的四面体)，其体积之比为2比1的定理(吴文俊称之为刘徽原理)时，采取这样的步骤[①]：首先，把堑堵的三度分割成两半，成为一些小的阳马、堑堵和鳖臑，然后重新组合，便得到在原堑堵的四分之三中阳马和鳖臑所占体积之比为2比1，那就只要考虑余下的四分之一部分中情况了，由于这四分之一部分又是二个与原堑堵结构完全一样的堑堵，于是刘徽又可以进行同样的分割，然后重新组合这些更小的形体，这样他又证明了在这四分之一部分的四分之三中，阳马和鳖臑的体积之比为2比1，这个过程可以不断地进行下去，他说“半之弥少，其余弥细，至细曰微，微则无形，由是言之，安取余哉?”[3]无限进行分割的结果最后得到一个“至细”“无形”的东西，它刘徽认为可以舍弃不要了!

瓦格纳认为刘徽实际上使用了极限方法，但在观念上还遇到很大困难[4]。不知是不是瓦氏误解了反问句的意思，其实这反问是正面的肯定。我们认为在刘徽的观念里把分割到最后得到的“至细”“无形”的东西弃而不取不存在什么困难。这不仅因为刘徽在任何地方都没有表现出他对自己的处理有什么疑虑，而且这还可以从他的思想渊源上得到解释[②]。

首先，刘徽受墨家的思想影响很深[5]。墨家“非半弗著斤”的命题，认为分割的不断进行最后得到一个“端”，而“端”是没有大小、量度为零、但又不是什么都没有的东西。由于刘徽要考虑的是分割到最后所得到的东西的体积，所以，从他受墨家思想的影响看，刘徽把那个最后得到的东西的弃而不取(实际只是不取其体积)，不存在什么观念上的困难。

其次，从道家思想传统看，也不存在刘徽对自己的处理产生怀疑的思想背景。刘徽这里用的“微”和“无形”两个概念，在刘徽之前已有密切的关系。《荀子·赋》说“知”“精微而无形”[6]，瓦氏本人也注意到今传本河上公《老子注》有“无形曰微”之语[7]。郭书春指出[8]刘徽此语脱胎于《庄子·秋水》“河伯曰：世之议者皆曰,‘至精无形……。’……北海若曰,‘……夫精，小之微也;……夫精粗，期于有形者也;无形者,数之所不能分也;不可围者,数所不能穷也’”[9]一段。这里，不仅“微”和“无形”通过概念“精”联系起来，而且充分体现了道家强调精微细小到极点就“无形”，“无形”就没有具体事物的规定性的思想。《庄子》说“无形者，数所不能分也”，认为“无形”便不能用数量来表示它的大小，从小这一方面来说，就是小到没有大小、没有体积可言。既然如此，刘徽把分割至最后得到的“至细”“无形”的东西的体积视为零，也就顺理成章了。处在王弼等玄学家提倡“贵无”的时代，万物始于“无”而复归于“无”的思想在当时影响甚剧，刘徽对自己这种处理问题的方式，是不存在怀疑其是否合理的思想背景的。

1.2割圆术中的无限过程刘徽用割圆术证明“半周半径相乘得积步”的圆面积公式时，从内接正六边形(“六觚”)开始割圆，依次得到内接正十二边形(“十二觚”)、正二十四边形(“二十四觚”)、……，“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”[10]，认为割圆到最后得到一个和圆重合的正无穷多边形。他把这个和圆重合的多边形(“觚之细者”)分割成无限多个小三角形(有人认为刘徽是把多边形分割成筝形，这似是而非。诚然，在求正6边形面积时，刘徽分割成3个筝形来处理，求正12边形面积时他也是分割成6个筝形来处理，等等;但是刘徽说“以一面乘半径，觚而裁之”，这个“觚”是不可再割的极限状态下与圆重合的觚，“一面”乃是此觚之一边，它乘半径，当然不会是另一个由两个更小的三角形组成的筝形的面积，否则此觚就还可再割了。而从行文来看，也是按此觚之一边来“裁”的，此一边已是分割到最后所得的一边。至于6边形分成3个筝形来处理之类，实为具体计算之方便)，由于每个三角形的面积的是其底边与圆半径乘积的一半，于是，刘徽就可以合并求和而得到这个正无穷多边形的面积公式，从而也就得到了圆的面积公式。

利用边数增加的圆内接正多边形逼近圆，当边数增加到无穷多时，这个正无穷多边形就和圆重合，这种处理并非始于刘徽。公元前5世纪的安提丰(Antiphon)探讨化圆为方问题时，先作一个内接多边形，例如一个正方形，然后作每一边的中垂线各交圆于一点，把每一点和与之相邻的正方形的顶点联结起来，于是得到一个正八边形,按照这样的方式不断进行下去，最后他得到一个多边形，其边和圆弧重合，圆便为它所穷尽了[11]。梁宗巨[12]、王青建[13]认为刘徽把边数不断增加的正多边形看成和圆越来越接近,以至最后与圆重合的思想,和安提丰的思想相一致[③]。

值得注意的是安提丰的方法在古希腊被认为逻辑不缜密而遭到了抨击，亚里士多德甚至认为安提丰的作法不值一驳[14],攸多克索(Eudoxus，公元前4世纪)改造安氏的方法，避免了无限概念的直接使用，符合希腊人对逻辑严密性的要求，其方法一直为古代西方数学所采用，并对近代数学产生了深远的影响;但是刘徽对他的方法则没有表现出什么不满意，从现有材料看，甚至整个中国古代都没有人怀疑过刘徽割圆术的合理性。刘徽的态度可以从以下方面得到解释。

首先，刘徽的这种处理是比较符合直观的。从6边形到12边形、到24边形、……，在这样越来越接近圆面积的趋势中，圆以多边形代替,所失的面积会越来越少，这样他就很自然的会觉得多边形和圆会越来越接近重合。我们知道，讲求直观是中国古代数学的传统。郭书春认为刘徽割圆术受司马迁“汉兴，破觚而为圆”之说的影响，而其实物原型乃是工匠把带有棱角的原材料加工成圆形[15]。刘徽从工匠的实际工作的中受到启发，获得其方法，是与中国古代数学讲求实际的特点相吻合的，而在这样的传统下，由于它来源于实际，所以更不容易被怀疑。刘徽对符合直观的方法比较信赖，还从他的其它注中能得到映证。

《九章》“勾股”章葛缠木问:“今有木长二丈,围之三尺。葛生其下，缠木七周，上与木齐。问葛长几何?”[16]刘徽用笔管缠青线模拟葛缠木，然后解开来看,发觉每周之间都相间成勾股弦(笔管的周长和线两圈之间的距离分别为股和勾，线一周的长为弦)，由此他解释了《九章》以木长为股，木围的七倍为勾(刘徽说在这里《九章》的术把勾和股颠倒了)，然后求弦便得到葛的长度的术的合理性。

如果说葛缠木问还真可以把曲的拉直的话,那么要把曲池拉直就只能凭想象了。刘徽注曲池(上下底面都是环田的立体)体积公式时说要把它“引而伸之”，实际会得到一个楔形体，曲池的底面的内外周长(所谓“中外周”)便变为楔形体的底面的长，而广、高或深不变，于是他把曲面体化成了(平面)多面体了。但是，在他的思想中如何“引而伸之”，则语焉不详。

这样化曲为直，应该说其理论的根据是不足的。刘徽没有对这样的作法表示怀疑，也说明他对那种从直观中获得的知识的信任，进而也更说明他对自己大胆利用无限思想来处理问题是放心的(当然,要用无限分割的方法，解决这两个问题是很困难的)。

其次，从墨家传统看，刘徽的处理也比较好理解。《墨经》中“无穷不害兼，说在盈否”的命题，按郭书春的解释，具有这样的意思：一个含有无穷多个部分的整体，只要一个部分都不缺，就不会影响这个整体[17]，虽然我们不能肯定这个解释是否一定符合《墨经》作者的原意，但后世学者从这样一个表述笼统的命题中获得某种思想是可能的，何况这个解释与《墨经》其它地方所表现的无限思想也不相矛盾。按照这个解释，在圆不可割状态下与之重合的无穷多边形，被分解为无穷多个三角形求和，是完全没有问题的;这无穷多个三角形只要一个不落就对无穷多边形、因而也就对圆的面积不会有影响[④]。

此外，割圆术割圆到最后达到不可再割的极限状态，从道论传统看，达到无限的状态是不可言论、没法追究的，因而刘徽对割圆术满足于直观也就足够了。

刘徽大胆地直接用无限过程来处理数学问题，而没有什么顾虑，这与古希腊学者大不一样。这一方面是由于刘徽时期及其以前不存在怀疑无限观念的传统，另一方面这也与中国古代数学注重实际，讲求直观的传统相一致。刘徽在无限过程的运用上，其思想和墨、道两家是一脉相承的。

2刘徽的不可分量的思想

除无限分割外，刘徽还利用不可分量可积的思想处理问题。在他的观念里，线可以看成是由一系列点组成的，面可以看成是由一系列线组成的，体可以看成是由一系列面组成的[18]。他在注圭田(等腰三角形)术时说的“中平之数”，就是组成圭田的平行于底(广)的一系列线段的平均值;在注环田(圆环或夹在二半径间的圆环部分)术时说的“中平之周”也是组成环田的一系列同心圆(弧)的平均值;而在注城、垣、沟、堑、渠(都是底为等腰梯形的直棱柱)的体积公式时所说的“中平之广”则是组成底面梯形的一系列平行于梯形底边的线段的平均值。

刘徽把立体看成是由一系列面积组成的，这实际是他根据比较两个立体任意等高处的截面积来确立它们的体积是否相等的思想基础。祖暅之在刘徽工作的基础上研究球体积问题，他说“夫叠棊成立积，缘幂势既同，则积不容异”[19]。他一方面说“叠棊成立积”，另一方面又说“幂(面积)势”怎么怎么，认为要根据截面积“幂”来确定立体体积的情况。虽然“棊”和“幂”具体是怎样的关系，尚难说定;不过，由于“棊”也正如郭世荣认为的存在于观念之中[20][⑤]，所以并不妨碍我们认为祖暅之把立体看成是由面积叠合而成的。祖氏的话透露出面积为体的思想思想来源于对实际中把有一定厚度的薄的东西一层层地叠合成厚的东西的工作的抽象，同时也反映了刘徽叠面成体的思想来源。