把求微数的过程无限地进行下去，并不能找到什么办法用一个有限的公式来表示这个结果，况且要把那些微数一个一个地列举完毕，也是不可能的。所以如果没有有效的归谬法，设想刘徽要把这个过程无限地进行下去，也不会得出明确的结论来。下面讨论的刘徽弧田术注也是这种情形。

3.2弧田术注刘徽弧田术注中的分割过程过去常常被认为是一个无限的过程。郭书春认为只是“极限思想在近似计算中的应用”[38]，这是比较正确的。虽然刘徽可以无限地进行下去，但他没有那么做，这也体现出他受以实用为目的的传统的影响。不过，和求微数法相似的是，如果无限分割下去，不仅这种计算没法完结，而且他也恐怕不知有什么用了。这和割圆术是大不一样的，按照割圆术的思想，他把无限过程进行到底然后分割合并，可以得到简明的公式;而把弧田术注的分割无限进行到底，他是没法得到简化的公式的，由于对那些大小不一的三角形他只能一个一个的相加，但这是没法加完的，所以他永远也得不到一个真正精确的值。从这一点来说，刘徽只进行到能得到所需精度的有限步，的确是明智之举。

弧田术注和求微数法都是把一个可以无限进行的程序只进行了有限步就停了下来。这两个问题的情形和割圆术及阳马术注都不一样，后两个问题的程序无限进行到底能把问题简化，而前两个问题随着程序的进行，计算会越来越复杂，而如果程序进行到了无穷步，由于没有办法把各个步骤的计算列举完毕，这对解决实际问题是毫无俾益的，但这对研究无限却很有意义。事实上，如果刘徽充分考虑一下他认为求微数程序的不断进行所得到的数会越来越接近方根的真实值，与他认为求微数法不是完全精确的方法之间是不是存在某种矛盾，也许会得到一些意想不到的启示，可是刘徽却并没有把程序进行到底。可见他之于无限，也只是把它作为处理问题的手段和方法，而没有把它本身作为研究的对象。刘徽仍然没有摆脱中国古算讲求实际的传统的影响，在他的方法能满足实际需要之后，去探讨无限的更深层问题的动因就大大减弱了。加之比较成熟的归谬法也没有发展起来，因而刘徽没能从求微数法中引导出不可公度的思想来，这是不足为怪的。

4结语

我们看到，刘徽不怀疑无限观念的合理性，也没有回避无限过程的使用。他认为连续不断的分割能进行到底最后达到不可再分割的状态。刘徽超越前人的地方是他天才地将无限过程成功地运用于数学证明，特别是他的阳马术注展示了他所具有的非凡的高难技巧。在刘徽那里，不可分量构成几何图形和“无厚”可积的观念取得了合法地位，并成为他成功地用于处理面积、体积问题的某些方法的基础。

刘徽的无限思想有很直观的一面，这是中国古代数学的传统。刘徽在一些地方应用无限过程而在另一些地方不用，而都能心安理得，这说明他的工作态度基本上是：采用甚么方法取决于不同问题的需要。

刘徽的无限思想又表现出他深受哲学思想影响的一面。墨家的深刻影响，使他对无限分割能进行到底而达到不可再分割的状态并得到一种不可分的东西的观念表示满意。不可分量可积的观念和无限分割到最后所得到的东西，其体积被他视为零的思想，则由墨家和道家的无限思想(特别是道家那里，无限状态乃是一种不能言论、不容置疑的状态)共同提供了思想基础。在刘徽以前，道家、墨家等都不怀疑无限观念，名家虽然认识到不可分量可积的观念中存在矛盾，但他们采取调和的态度，而并没想到要否定无限观念的存在。可以说，在刘徽以前，既不存在怀疑无限概念中存在问题的思想背景，也没有产生在更深层次上探讨这类问题的有效方法。刘徽不去怀疑无限中存在什么问题，这是可以理解的。

在中国古代数学史上，对开方问题的讨论没有发展出无理数的观念来，其原因是非常复杂的。研究数的性质不是中国古算的任务，中国古算讲求实际的传统，影响到刘徽的求微数法的立足点与通往发现不可通约量的途径正好相反。研究求微数过程的无限进行，有助于加深对不可公度的认识，但要由此确认无理数的存在是困难的。对于由开方过程来确认无理数是否存在这样的问题，没有富于成效的归谬法，是难于解决的。而归谬法不仅不是中国古代数学的传统，而且还是中国古代哲学思维的薄弱环节。在这样的背景下，要指望刘徽发展出比较成熟的归谬法来，并由此确认不可通约性的存在，是不现实的。

应当承认，把名家对无限的讨论继续深化，有可能在对无限的认识上获得更深入的认识。可是，虽然刘徽谙熟诸子百家，我们却难以找到他受名家思想影响的痕迹。这大概是他毫无顾虑地利用无限过程处理问题的一个重要原因。司马彪为名家的命题作注时的态度，大体能从侧面反映出：刘徽也是不把名家的观点当一回事而不予关注的。这也许也能代表一种抛开政治感情来对待名家学说的普遍态度。考察名家在中国历史上的兴衰和遭遇,及其在中国思想史上的地位与影响,也许能从更广阔的社会背景来为探讨刘徽的无限思想提供一种新的视野。

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