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尽管义务教育数学课程标准及其实施(比如，教科书的编写、课堂教学、甚至教学评价等)都强调了“数感”及其重要性，但是在认识上却存在着诸如简单化、泛化、混淆、借用、甚至神秘化等问题。因此，在明确“数感”的基本含义及其特征的基础上，探讨“数感”的形成与发展，应该是发展学生“数感”的理论认识前提和现实条件;更是在“数感”基础上进一步发展学生“符号感”，乃至数学观的必由之路。

一、何谓“数感”

一旦论及感觉、直觉等与创造性或问题解决相关的问题时，很多人就会有一种莫名的神秘感。其实，“数感”并不是什么神秘的东西，它只是我们对数字关系和数字模式的意识，以及运用这种意识灵活地解决数字问题的能力。学生具有“数感”的典型特征就是他们能够对其所面对的数字模式、数字关系和计算过程进行归纳，并能够把新知识和已有知识联系起来[1]。但是，在我国数学教育理论界，却存在着一些关于“数感”的不恰当、甚至错误的认识，而这些“误解”必然会误导数学教育实践。为了澄清这些“误导”，就必须首先剖析这些“误解”，并追问其发生的认识论根源。

譬如，有论者认为：“‘数感’是对数的‘感悟’。‘感’是外界刺激作用于主体而产生的，是通过肢体(如感官等)而不是通过大脑思维，它含有原始的、经验性的成分。悟是主体自身的，是通过大脑思维而产生的。‘感悟’是既通过肢体又通过大脑，因此，既含有感知的成分又有思维的成分。”[2]但是，唯物认识论却认为，如果要想从根源上来认识认识和思维，那么，其根源就是感觉，而感觉与知觉(统称为“感知”)则是认识和思维的初级阶段之具体形式。认识和思维是主体与客体之间的一种关系，离开了客体，认识与思维是不存在的;即使是以认识与思维本身为认识与思维对象的认识与思维即反思，它也是思维着的思维、或者认识着的认识与被思维的思维、或者被认识的认识之间的主体与客体之间的关系。因此，现实的人类“大脑思维”就不仅仅是自身的：它既是主体自身的、又是主体客体化的。总之，意识必然是思维的，“数感”也必然是思维的：只“通过肢体而不通过大脑思维的”肯定小可能是“数感”，也不可能是人的反应性，它只可能是“物质的反应性”。由此可见，上述关于“数感”的所谓“感悟说”既割裂了人的感性认识与理性认识之间的联系，又简单地把两者粘贴为“数感”。与此相近的认识还有：“从知识的角度来看，数感包括感觉、知觉、观念或是能力等，并可用知识来统一解释。因此，数感是一种程序性知识，数感又主要是一种内隐性知识，数感又主要是一种非结构性知识。”[3]

再譬如，有论者认为[4]：“狭义的数感就是‘数字感’，即人脑对于数字或数字运算定律的直觉;广义的数感就是数学感，即人脑对于数学对象的直觉。而且数感还具有3个基本特征：直觉性——非逻辑性、自动性，内隐性——理解性、抽象性、实用性，发展性——天赋性、层次性、可学性。”显而易见，该论者泛化了“数感”的概念及其内容，而且还可以看出其直接借用人们对“美感”理解的痕迹。因此，这种关于“数感”的所谓“直觉说”既不利于我们对“数感”的认识，又无助于我们对学生“数感”的培育。至于其所归纳的“数感”的3个基本特征则不仅需要进一步的实证研究来加以证实或者证伪，而且还存在一些概念间逻辑关系混淆的问题需要澄清：直觉性、发展性和内隐性之间是什么关系?发展性中的天赋性与可学性又是什么关系?持“直觉说”的论述还有：“数感是一种关于数字的直觉，它从数字的所有不同的意义的表述得以表现。”[5]“数感”是一种类似于“语感”“方向感”“美感”和“质感”等(关于数)的“直感”[6]。

还有论者认为：“数感是人们在数概念的扩展中而产生的对数学的一种敏感与一般理解。”[7]而且这种“敏感与一般理解”具有如下一些特点[7]：“(1)这种敏感与理解是对数字(量)的直觉，它帮助人们对数字(量)的直感迅速地反应为数学问题，使数学问题从感知层面敏捷地链接到数学思维;(2)这种敏感与理解是关于数概念的网络结构：(3)这种敏感与理解具有非算法性、非单一、非确定、非逻辑等特点，其反应时间短，稳定性差，是所需解决的问题与数学思维之间的按钮，其灵敏度与数概念网络结构的个性化有关。”这种关于“数感”的所谓“敏感说”具有某种神秘性：“一种敏感”“一般理解”等语义不清，容易让人“浮想联翩”;而且还存在着泛化的倾向：把对“数概念的扩展”无限推延至“对数学的一种敏感与一般理解”。我们可以设想，如果人们真能够在数概念的扩展中产生所谓的“对数学的一种敏感与一般理解”，那么这种敏感与理解就不可能是“数感”，而更可能是数学观。由此可见，该论者混淆了“数感”与数学观。其实，“数感”可能是数学观的一个有机构成，但绝不可能是数学观本身。至于其所归纳的“数感”所具有的特点则需要更加严格的数学教育心理学等(实验)研究来加以证实或者证伪。

具体而言，“数感”包括“对数字关系和数字模式的意识”，以及运用这种对数字关系和数字模式的意识“灵活地解决数字问题的能力”两个部分内容;其核心是指计算策略中的灵活性和创造性，而非“没有思维的”计算程序。由此可见，“数感”不仅强调要培养学生的数学理解力，而且强调要培养其积极的学习态度与信心;“数感是一种主动自觉地或自动化地理解和运用数的态度与意识。数感是人的一种基本的数学素养。它是建立明确的数概念和有效地进行计算等数学活动的基础，是将数学与现实问题建立联系的桥梁。”与此同时，“建立数感可以理解为会‘数学地’思考”[8]。

因此，数感……体现的是应用数字的倾向和能力，以及作为交流、加工、解释信息的量化方法。数感导致人们期待数学有某种规则[9]。

二、何以形成“数感”

“数感”主要在三个领域中起作用：(1)数字知识和数字的简便性;(2)运算知识和运算的简便性;(3)把数字和运算的知识及其简便性应用到需要用数字进行推理的问题中[9]。因此，我们可以从上述这三个领域来思考“数感”的形成问题。

1.从“数字知识和数字的简便性”来看“数感”的形成

单个数字的识别与学习，是数字知识积累的最初形式。但是，数字的顺序感可能更为重要：…，9，8，7，6，5，4，3，2，1，0，…或者反过来。

而“计数”并非仅仅是指学生们最早体验到的“单向”计数，而是可以以任何“合适”的方式来进行：可用2，5，10，100(其实也不排除用3，4，6，7等)等为间隔来计数，可以从任何一个数字开始向前或向后“数”……在这种“计数”过程中，既可以形成数字的顺序感、又可以感觉到多样化的数字的呈现方式，以及数字相对与绝对数量的判断和思考数字的基准参考体系。

当这些数字关系和数字模式与算术运算相联系的时候，这些数字关系和数字模式就能够促使学生们找到有效的计算策略，从而促进其“数感”的形成与发展。