它是使学生自觉参与学习的最好“诱惑”。例如，对于运用公式法分解因式的第一节课—平方差公式，教师可以这样来创设问题情境：

师：在一次智力竞赛中，主持人提供了2道题：“??”主持人话音刚落，就立刻有一个学生刷地站起来抢答说：“第1题等于169，第2题等于800。”该学生回答的速度之快，给人以不假思索之感。同学们，你们知道他是如何计一算的吗?

这时，学生们开始沉默，思考这个问题，但始终没有得出什么结论……

师：今天，学了平方差公式，我们就可以揭开这个谜底，这样创设问题情境，就使学生产生了“我也要成为他那样的快速抢答者”的渴望，从而积极投入到学习中去。

2、构造认知冲突

当新的学习与学生原有的知识水平之间产生认知冲突时，这种冲突就会成为诱发和促进学生思维发展的动力，使他们产生弥补“心理缺口”的愿望。例如，在“线段的垂直平分线”的教学中，教师可以这样创设问题情境：

 

 

图5

如图5所示，有A，B,C3个村庄。现在要为它们开凿一口井P，使得P到A，B,C的距离都相等。那么P应该设在哪里呢?

然后教师用3条橡皮筋一端系在一起作为P点，另一端分别固定在A，B,C3点。教师一边移动点P，一边向：“PA，PB,PC的长度相等吗?”几次尝试之后，学生们会认为，单靠观察是不准确的，用测量的方法也不可行。这时，教师再指出：“只要我们掌握了线段的垂直平分线的知识，这个问题易如反掌。”这时，学生已产生了心理缺口-----—如何准确地确定点P的位置呢?这样，学生就会积极地投人到新知识的学习中去。

3、问题情境是学生熟悉的

在设置问题情境时，最好是从学生熟悉的生活情境和生产实际的角度出发，这样才能保证学生有相关的观念来理解问题，也才有可能使学生主动积极地建构他们的数学认知结构。例如，数学教师在讲合并同类项时，可以这样引人新课：某个体饲养员要卖一批鸡、鸭、鹅，其中A是鸡的价格，B是鸭的价格，C是鹅的价格，他在账本上记下了一只鸡2.5千克、一只鸭2千克、一只鹅3.5千克，又记下一只鸡2千克、一只鸭2.8干克、一只鹅3.8千克……卖得的总钱数是2.5A+2B+3.5C+2A+2.8B+3.8C，请问怎样算最简便?通过这一实际问题的解决，很自然地就导出了合并同类项的原理。这样讲课不仅生动形象，易于理解，而且也会让学生感受到课堂上所学的数学知识很贴近现实生活，从而提高了知识的价值感。

三、注重变式的应用

1、通过非标准变式，突出概念的本质属性

在概念的对象集合中，尽管从逻辑的角度看，每个对象都是等价的，但实际上，它们在学生的概念系统中的地位并不相同。这是因为，其中一些对象由于其拥有“标准的”形式、或者受到学生感性经验的影响等而成为所谓的标准形。标准形虽然有利于学生对概念的准确把握，但也容易限制学生的思维，从而人为地缩小概念的外延，使得学生不能透彻地理解概念。解决这个问题的方法之一就是充分利用非标准形：通过变换概念的非本质属性，突出其本质属性。

在几何教学中，许多教师往往用最常见、学生最熟悉的图形进行教学，有的学生理解了，可以以不变应万变，但有的学生却受到这种“标准图形”的制约而产生理解困难，因此，在几何教学中，注重图形的多样化，即：图形的形状、放置方式有多种变化，可以让学生较快的形成正确的表象，拓宽学生的视野，不会局限于一种“标准形”。例如，在讲解垂直、三角形的高和平行四边形时，可以采用标准形与非标准形的比较，来帮助学生理解。

2、通过概念变式与非概念变式的比较，明确概念的外延

数学概念通常都不是孤立的，而是存在于一个由多种概念组成的概念体系之中，因此，要明确概念的外延就必须分清概念与其相关概念之间的关系，这是理解概念的前提。我们可以利用所谓的“非概念变式”，如，平面几何中的非概念图形，通过非概念变式与概念变式的比较，来帮助学生理解概念的本质属性。

非概念变式的形式有很多种，其中常用的有“反例变式”，也就是我们平时所说的概念的反例，由于反例具有鲜明的直观特征，容易引起学生的注意，也易于为学生所接受，因此，反例教学是促进学生深刻理解的有效方法之一。例如，在学习菱形时，对角线互相垂直是其重要性质，但很多学生会错误地认为，对角线互相垂直的四边形就是菱形，这时教师就可以利用图6的反例图形来帮助学生澄清错误观念，透彻地理解菱形的性质。

 

 

图6

四、引导学生对所学知识进行总结

学习数学不能将知识孤立起来、割裂开来，应注意数学知识之间的“横向”和“纵向”的联系。在数学教学中，教师要引导学生对所学知识进行归纳总结。

1、纵向总结

在学完每单元、每章知识之后，引导学生归纳整理所学知识间的内在联系、逻辑顺序、主从地位及解题技能、技巧方面的结构;在复习时要注意对所学数学思想、方法进行归纳、概括，让学生试写这方面的学习体会或写出一章的小节。当然对知识进行归纳、整理，并不是罗列所学过的定义、定理、法则等，而是建立知识间的内在联系与区别。通过绘制知识结构框图，知识之间的关系从图中一目了然，这样可以帮助学生形成良好的认知结构。

2、横向总结

横向总结就是要把分散在各个单元的知识内容，但又是解决同一类问题的各种知识与方法系统地贯通、串联起来，这样可以为解决同一类问题提供多种方法。例如，证明两条直线垂直，可利用以下方法：垂直定义，等腰三角形三线合一定理，直角三角形的判定和性质定理，正方形、矩形、菱形的有关性质(正方形、矩形的四个角都是直角，正方形、菱形的对角线互相垂直)，三角形的垂心性质等。教师在教学过程中，要善于利用时机有意识地锻炼学生，使他们的认知结构逐步完善。

五、注重数学交流，提高学生的数学语言表达能力

1、加强数学语言之间互译的训练

数学概念、定理、公式、法则等往往是只用某一种数学语言表述的，而学生要真正理解、掌握和运用它们，则必须能灵活运用三种数学语言(文字语言、图形语言、符号语言)进行表述。例如，几何中的定理均是用文字语言表述的，但证题时的论证需借助于符号语言表达，而其间图形语言作为文字语言和符号语言的补充，为数学思维提供了直观模型。所以，应在几何教学中做好三种语言的沟通和互译。

2、开展小组学习

在课堂上，教师要适当地改变教学组织形式，开展小组学习，为学生提供一个宽松自由的学习环境，使他们在学习过程中有充分的独立空间。小组内交流要为每一个学生提供一个平等参与的机会，使学生在独立思考的基础上与他人合作，彼此交流、倾听、解释，思考他人的观点以及自己进行反思，经过这一过程使原来模糊的认识得到澄清。在小组学习中，教师要充分发挥其引导作用，这就要求教师做到以下几点：首先，要设计出学生感兴趣的问题，学生在求解问题时，要动手、动脑，要全身心的投人，要与其他同学合作，否则无法完成;其次，教师要积极巡视和掌握学生讨论的动向，对学生的各种不同意见作进一步的比较与评价，引导学生发现各种解答可能存在的逻辑关系;第三，教师还要启发鼓励那些不善于讲话、成绩落后的学生大胆开口讲话，发表自己的见解。

六、加强学习过程中的反思

1、要求学生养成记“数学日记”的习惯

所谓“数学日记”，是让学生以日记的形式记录下他们自己对每次数学教学内容的理解、评价及意见，其中包括自己在数学活动中的真实心态和想法，如学生可以自由表达自己关心的或者渴望倾诉的问题、自己的成绩、失败以及学习中存在的问题等。“数学日记”可以作为教师了解学生心理、思维及非智力因素等个体差异的工具，为教师改进教学提供依据。

2、引导学生对自己的作业进行自我分析

具体做法是要求学生把作业本划分为两栏，一边写出问题的解答，另一边写出每个问题的解释和思路。如果遇到不会的问题，允许学生不做，但必须写出自己的思路，存在的疑问及思路症结。这一措施为我们了解学生的学习状况提供了大量的第一手资料。

3、指导学生进行自我提问

学生的自我提问要贯彻到学习的每一环节中去，具体做法如下：

对习题的自我提问包括以下几个方面：自己哪些地方走了弯路?什么地方是题目的难点和容易出错的地方在哪?在解题过程运用了哪些方法和技巧?它们还可用于其他什么类型的题目?还能不能运用更简单的方法来解?习题的特殊情况或类似情况是否成立?可否推广?

如果未解出习题;知道解法后还应反问自己：在哪一个环节抓不到头绪?解法中使用了什么自己没有想到的知识和技巧?体会一下下次做此类题应用什么方法来解

对数学概念学习的自我提问方式：我可以用数学符号、图形、数学语言表述这个概念吗?可以举出该概念的具体例子吗?(尽可能多的举出)能够找出该概念的反例吗?这个概念的实质是什么?适用范围是什么?以前是否学习过与这个概念有关的一些概念?(找出它们的相同点或不同点)能够运用这个概念解决问题了吗?

对数学定理学习的自我提问方式：这个定理是在怎样的背景下提出来的?能够运用自己的语言复述这个定理吗?该定理成立的条件是什么?运用这个定理可以解决哪些问题?

参考文献

〔1〕李淑文，张同君.“超回归”数学理解模型.数学教育学报，2002.1

〔2〕马复.试论数学理解的两种类型一从R.斯根普的工作谈起.数学教育学报，2001.3

〔3〕喻乎，单墫.数学学习心理的CPFS结构理论.数学教育学报，2003.1

〔4〕李士铸.熟能生巧吗.数学教育学报，1996.3

〔5〕涂荣豹.试论反思性数学学习.数学教育学报，2000.4

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