“乘法和加、减法的两步混合运算”是苏教版义务教育课程标准实验教科书数学四年级上册的主要内容之一。教材先让学生解决购物情境中的两个实际问题(列式为:3×5+20和50-2×18),结合数量关系的分析体会“乘法和加、减法的两步混合运算”的运算顺序及其合理性。在此基础上,概括出运算顺序:算式中既有乘法又有加、减法,应先算乘法。在笔者对教材深钻细研、对教学思路苦苦探寻的过程中,一个教学的深层问题阻断了思绪——究竟为什么要“先算乘法”?诚然,凭借例题中的实际问题,能够体会“先算乘法”的合理性,但是还不足以回答“为什么”!知其然,还要知其所以然。作为教师,必须弄清“先算乘法”的道理,因为这“道理”将直接左右教学设计的走向,特别是会影响教学的深度和效度!
一、探究
围绕“为什么先算乘法”,我请教同事、教研员和师范学校的老师并查阅相关资料,概括起来,主要有以下五种观点:
1 这是一种规定,纯粹的人为规定,无需证明。
2 乘除法是第二级运算,按规定计算时要先算第二级运算。
3 为了避免混乱,保证运算结果的唯一性。
4 生活实际的需要。因为人们在实际生活中遇到需要先乘除后加减的问题,大大多于需要先加减后乘除的问题。这样规定,方便解决多数问题。
5 为了简化计算,提高计算效率。
把运算顺序看成数学上的一种“规定”,这是一种共识。无论从以前“大纲”版教材里,还是现在教师(包括课程专家)的认识中,都可以获得充分的印证。然而,为什么要这样规定?“观点1”只强调“先算乘法”是一种纯粹的人为规定,没有给出规定的理由。“观点2”试图利用一个新的规定(先算第二级运算)来解读原来的规定(先算乘除),走入“循环规定”的误区。“观点3”似乎带有随意性,更不具说服力。“观点4”好像有点道理,比较符合生活中“少数服从多数”的原则。但运算顺序的产生并非来自于哪种实际问题数量的多与少。笔者对“观点5”持基本赞同的态度。
首先,可以从一个假设的教学情境中感悟。
当学生解答:“一个书包20元,一本笔记本5元,买1个书包和3本笔记本一共用去多少元?”列出综合算式“20+3×5”之后,教师组织学生体会运算顺序。
师:这道算式,应先算什么?
生(众):先算3乘5。
师:为什么先算3乘57
生:因为要求“一共用去多少钱”,必须先算出“3个笔记本多少钱”,所以先算“3×5”。
至此,学生已经体验到“先算乘法”的合理性,相应的教学也往往随之结束。然而,如果将思维再向前推进一步,或许就有新的发现。
师:同学们,解决这个问题时必须先算3个笔记本的价钱吗?如果我们用一个书包的钱——20元先加一个笔记本的——5元,再加第二个笔记本的钱——5元,最后加第三个笔记本的钱——5元(即:20+5+5+5)。可以吗?
生:可以!
师:既然这样算也可以,那么大家为什么不选择它,而都选择这种(20+3×5)方法呢?
生:因为这样连加太麻烦,而先算“3×5”要简便得多!
的确,先算乘法(3×5)再算加法(20+15),比起连加(20+5+5+5)要简便,特别是当相同加数更多的时候,先算乘法就越显简便了。虽然这是一个假设的教学情境,但是它却把我们的思维从“中途”推到了“原点”,让我们对“为什么先算乘法”的思考透过表层而进入了深层。
其次,可以从“先算乘法”的“对面”(先算加减法)作进一步思辨。我们经常会遇到这样(或类似)的问题:“一种降价的棉袜每双4元,妈妈上午买了5双,下午又买了8双。妈妈买棉袜一共花了多少钱?”解决这个问题时,既可以用“4×5+4×8”(先算乘法)来解答,又可以用“(5+8)X4,7(先算加法)来解答。虽然后者可能会加大计算的难度,但是它仍然得到老师和更多学生的青睐。究其原因,主要是师生觉得后者“少一步”计算更显“简便”。也就是说,人们之所以青睐“先算加法”解决这类问题。还是基于“简便”的考虑。这也恰恰与例题中“先算乘法”的出发点是一脉相承的。
我们还可以从数学发展的角度去考察“为什么先算乘法”。我们知道,加法是数量变化的低级形式,是四则运算中最基本的算法,减法是加法的逆运算。后来人们在实践中摸索到更为高级的运算——乘法,用乘法计算相同加数的和可以大大提高计算效率,使计算简便。因此,遇到型如“x+a+a+…+a(b个a)”的计算问题,自然就想到先用乘法算b个a的和(b×a),然后再加x。由此可见,人们之所以规定“先算乘法”,归根结底是缘于计算的简便,是根据数学本身运算的特点而确定的,基于计算的简便,人们才规定“算式中有乘法和加、减法,应先算乘法”。
二、实践
基于以上研究,笔者作出相应的教学预设,并进行多次实践、反思与调整,最终获得大家的认可。下面摘录“运算顺序”课堂教学的核心部分,与大家分享!
课始,学生依次口算:8-3+10、2×6÷4、22÷2×3、16+20-5、28-3×2,并由最后一题所产生的异议引入新课。
1,初步体验。
师:请同学们看多媒体屏幕,我们继续口算。
出示:13+6+8(集体口答)。
师:你是怎样算的?
生:先用13加6等于19,再算19加8等于27。
由上式直接改为:13+6+6(集体口答)。
师:这又该怎样算?
生1:先用13加6等于19,19再加6等于25。
生2:这里有2个6,2乘6等于12,13再加12等于25。
师:也就是先算出2+6,再与13相加。
再改为:13+6+6+6+6+6。
此时,学生不约而同地发出惊讶的声音,同时积极计算:五六三十……不到3秒钟,他们已经说出了结果——143。
师:都同意吗?
生(众):同意!(师出示结果43)
师:怎么算得这么快!你们是怎样算的?
生:因为这道算式里有5个6,可以先算“五六三十”,然后再用30加13等于43。(师板书:5×6=30,30+13=43)
师:一样想法的同学举手!(学生都兴奋地举起了手)噢!都是这样想的,请放下!那么,你们计算这道题时,为什么都不用从左往右连加的方法呢?
生(众):太麻烦了!
师:看来,我们刚才想的方法(指黑板上的分步算式)的确非常——(众生)简便!其实,在用这种简便方法计算时,我们还可以把这两道算式合成一道算式来算。你知道这一道算式是怎样列的吗?
生1:5×6+13。
生2:13+5×6。
(师随机板书这两道算式)
师:你是怎样想的?
生:这道算式里有5个6,就写“5×6”。13加上5+6,也就是“13+5×6”。
师:你说得真清楚!的确是这样,为了计算简便,我们可以先算5个6的和(点击出示算式“13+6+6+6+6+6”下面的横线),这个算式也可以列成:13+5×6。那么,同学们看这两道算式都是由原来的两道一步算式合在一起列成的,像这样的算式就是综合算式。(板书:综合算式)因此,计算这道连加算式时,我们既可以列分步算式,也可以列综合算式。现在,请同学们仔细观察这两种算法(综合算式),看看它们有什么相同的地方?
生1:得数都一样。
生2:都是先算乘法,再算加法。
(师用红线分别画出先算的部分。)
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