2 深入体验。
师:同学们!像上面的连加算式,我们可以用这样的算式计算方便。如果我们再遇到类似的连加算式,你能说出相应的简便算式吗?
生(众):能!
出示:20+4+4+4。
生:20+3×4。
师:你是怎样想的?
生:因为这道算式的后面有3个4,3个4就可以用乘法“3×4”来算,然后再与前面的20相加就是“20+3×4”。
师:因此,在这道算式中应该先算——(众生)3乘4。
接着依次出示:
7+7+7+7+7+3,15+15+15-6,让学生直接说出对应的算式和先算的部分。
再出示:50-8-8-8-8。
师:这道题怎样算呢?
生:50--4×8。
师:你是怎样想的?
生1:因为它有4个8,就是4乘8等于32,再用50减32等于18。
生2:因为它是减去4个8,可以先算4个8的和再一块减,就是“50-4×8”。
师:“一块减”这个词用得好!那么,“一块减”是什么意思?
生2:“一块减”也就是一起减。
生3:也就是把这4个8一次减完。
师:你们真爱动脑筋!算式中原来是连续减去4个8,现在我们可以先把这4个8先合起来再一次减掉(指算式:50-4×8),这样算要简便得多。因此,这道题应该先算—一(众生)4乘8。
师:现在,我们再回头看一看开始时这道有争议的算式——“28-3×2”,该怎样计算呢?为什么?
生1:先算乘法,因为这样算简便。
生2:因为先算3个2的和,更容易算出结果。
师:我们可以联系刚才的算式想象一下,这道算式原来可能是——28连续减去——(众生)3个2。(板书:28-2-2-2)很显然,先算3个2的和(在“3×2”下面画横线)简便。
3 提炼规则。
师:同学们!我们已经研究了好多道算式(指屏幕和黑板上的7道算式),其实,像这样的算式在我们的生活和数学学习中还会遇到很多。那么,请大家仔细观察,比较一下这些算式,你们有什么发现?(先独立思考、小组交流,再集体交流。)
生1:这些算式都是先算乘法,再算加减法。
生2:这些算式都是混合运算。
师:这些算式中是哪几种运算混合在一起的?
生2:有的是乘法和加法混合在一起,有的是乘法和减法混合在一起。
师:也就是说,在什么情况下,需要先算乘法?
生3:算式中有乘法和加法或者是乘法和减法的情况下,需要先算乘法。
师:也可以这样说,算式中有乘法和加、减法,应先算乘法。这就是今天学习的混合运算的运算顺序。
三、思考
“混合运算”属于数学规则教学的范畴,它理应遵循数学规则教学的基本规律。教学数学规则离不开若干个隐含规则的例证(特别是正例)的支持,与之对照的本课时混合运算的教学,则需要合理呈现已经确认运算顺序的型如“a×b±c”和“a±b×c”的四种正例。不难想象。倘若直接呈现几道相应的混合运算的计算式题作为正例,那么它们的运算顺序将会因缺失“算理”的支撑而无法确认,其结果必然导致教学走向混乱,甚至无效。因此,有效正例的呈现必须以学生理解“算理”为前提。也就是说,只有让学生充分体验“为什么先算乘法”,才能生成有效的正例,进而便于运算顺序的概括。
1 在变化情境中加深体验。案例中,教师通过精心创设的变化情境,让学生加深体验,为正例的有效生成打开了通道。教学从口算“13+6+8”开始,先把“8”变为“6”,得到“13+6+6”;再在此算式的后面加上3个6,得到“13+6+6+6+6+6”。连续两次的动态呈现,将这三道相关的算式构筑成一个鲜活的变化情境。随着学生口算时简便因素的不断增加,其口算方法也逐步由“从左往右”转向“先用乘法算相同加数的和”。如果说口算第二道算式时的两种方法优劣相当,那么口算第三道算式时就必然会因相同加数的急剧增加而凸显后者的简便。因此,当第三道算式呈现时,不仅瞬时激活了学生的思维,而且他们在惊讶间已经不约而同地选择了后者——“5×6=30,30+13=43”深化了最初的“简便”体验。此时,教师并未满足于学生已获得共识这一结果,而是更加关注他们选择的缘由。通过及时反思和实地“连加”,用放大前者的麻烦来反衬后者的简便。计算效率的极大反差所带来的强烈冲击力进一步加深学生的体验,让他们在两种算法的直接对比中,真切体验到后者的便捷与合理。
在此基础上,通过合成与比较综合算式,既生成了“确认”后的正例,又使得学生获得更为深刻的体验:无论“5×6”在“前”还是在“后”,都应先算“5×6”。众所周知,将学生头脑中的运算顺序由原来的“从左往右”扭转成现在的“先算乘法”,是教学上的一个难点。显然,这个难点的轻松突破得益于第二个正例“13+5×6”的自然生成。究其自然生成的原因,除了“原型”(带横线的连加算式)的支持外,更为重要的是学生对“为什么先算乘法”的亲身体验。这也就从另一个侧面说明“回到思维原点”的价值,这也是本节课中的一个亮点。
2 在扩展活动中丰富体验。数学规则的发展需要充分的正例。正例太少,学生缺乏充分的依据,就难以归纳出其中的规则。因此,在已经呈现个别正例的基础上,应进行适当的正例扩展。案例中主要分两个层次:一是改写。即:将连续呈现的四个“麻烦算式”直接改写成“简便算式”。在改写中,遵循由易到难的顺序,先“加”后“减”,以便学生迁移刚才的体验,进而确认每一个新正例的运算顺序。同时,对诸多不同类型正例运算顺序的确认活动反过来也加深学生对“为什么先算乘法”的体验。二是释疑。即:依据前面获得的经验和体验,解读课始的争议——“28-3×2”的运算顺序。这一活动既是对课始争议的回应,又是针对体验难点——“先减后乘”的一次突破。通过迁移,强化刚刚获得的对“50-4×8”的体验,切实理清“在先减后乘”的算式里“先算乘法”的道理。如果说“改写”是顺向思维的话,那么“释疑”则是逆向思维。就在学生这“一来一回”的“确认”过程中,他们对“先算乘法”及“为什么先算乘法”获得极为丰富的体验,从而对“四种类型”的规则表象也逐步清晰起来。虽然只研究7道相关算式,但是已经涵盖了可能的四种类型,学生感知丰厚而深刻,再引领他们概括运算顺序,实现由例证向数学规则的跨越,自然水到渠成。
与教材的选择相比,本案例更富有逻辑性,似乎对学生的要求更高一些,然而,这种从数学知识的内在联系人手。从人们思维原点出发的教学,却给我们打开了一扇明亮的窗户,不仅让学生在看到数学知识的同时也看清了数学知识的“根基”,而且让我们在探索的过程中多了一份冲动和成功的体验!
当然,我们强调“回到思维原点”并非否定从生活情境出发的教学思路,而只是为了进一步探索“为什么先算乘法”。考虑到学生认知水平的差异性,虽然可以联系生活中典型的实际问题让学生直观地、朴素地体会运算顺序规定的合理性,不一定让他们明确背后的“为什么”,但是教学时我们必须注意两点:一是教师应该明确“为什么这样规定”;二是在学生联系生活实际体会并概括运算顺序之后,教师必须站在更高的层面上及时强调:“你们的认识与数学上的规定是完全一致的,以后遇到两步混合运算式题时,都要按照这个规定来运算。”(周玉仁语)以防止学生因联系生活实际而形成“规定”来源于具体实际问题的错误认识。这事实上也就从逻辑的角度给学生的深入思维留下应有的空间。
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