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函数的图象与性质上海市中考题及答案

2001-2012年上海市中考数学试题分类解析汇编(12专题)

专题6：函数的图象与性质

一、选择题

1. (上海市2004年3分)在函数 的图象上有三点 、 ，已知 ，则下列各式中，正确的是【 】

A. B.

C. D.

【答案】 C。

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质。

【分析】根据题意画出图形，再根据函数的增减性解答即可：

∵ >0，函数图象如图，

∴图象在第一、三象限，在每个象限内， 随 的增大而减小。

∵ ，∴ 。

故选C。

2.(上海市2006年4分)二次函数 图像的顶点坐标是【 】

(A.) (-1，3) (B). (1，3) (C).(-1，-3) ( D). (1，-3)

【答案】B。

【考点】二次函数的性质。

【分析】根据二次函数的顶点式的特点，直接写出顶点坐标：(1，3)。故选B。

3.(上海市2007年4分)如果一次函数 的图象经过第一象限，且与 轴负半轴相交，那么【 】A. ， B. ， C. ， D. ，

【答案】B。

【考点】一次函数图象与系数的关系。

【分析】一次函数 的图象有四种情况：

①当 ， 时，函数 的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大;

②当 ， 时，函数 的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大;

③当 ， 时，函数 的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小;

④当 ， 时，函数 的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小。

由题意得，函数 的图象经过第一、三、四象限， ， 。故选B。

4.(上海市2008年4分)在平面直角坐标系中，直线 经过【 】

A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限

【答案】A。

【考点】一次函数图象与系数的关系。

【分析】一次函数 的图象有四种情况：

①当 ， 时，函数 的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大;

②当 ， 时，函数 的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大;

③当 ， 时，函数 的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小;

④当 ， 时，函数 的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小。

由题意得，函数 的 ， ，故它的图象经过第一、二、三象限。故选A。

5.(上海市2008年Ⅰ组4分)在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴的交点的个数是【 】

A.3 B.2 C.1 D.0

【答案】B。

【考点】抛物线与 轴的交点。

【分析】抛物线 与 轴的交点的个数即方程 不相等实数根的个数，有2个，故选B。

6.(上海市2009年4分)抛物线 ( 是常数)的顶点坐标是【 】

A. B. C. D.

【答案】B。

【考点】抛物线的性质。

【分析】因为抛物线 是顶点式，根据顶点式的坐标特点，它的顶点坐标是 。

故选B。

7.(上海市2010年4分)在平面直角坐标系中，反比例函数 图像的两支分别在【 】

A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限

【答案】B。

【考点】反比例函数的性质。

【分析】根据反比例函数 的性质：当 时，图象分别位于第一、三象限;当 时，图象分别位于第二、四象限：

∵反比例函数 的系数 ，

∴图象两个分支分别位于第二、四象限。

故选B。

8.(上海市2011年4分)抛物线 =-( +2)2-3的顶点坐标是【 】

(A) (2，-3); (B) (-2，3); (C) (2，3); (D) (-2，-3) .

【答案】D。

【考点】二次函数的顶点坐标。

【分析】由二次函数的顶点式表达式 =-( +2)2-3直接得到其顶点坐标是(-2，-3)。故选D。

二、填空题

1. (2001上海市2分)如果正比例函数的图象经过点(2，4)，那么这个函数的解析式为 ▲ .

【答案】 。

【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】设正比例函数的解析式为 ，

∵正比例函数的图象经过点(2，4)，

∴根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，得 ，解得 。

∴这个函数的解析式为 。

2. (上海市2002年2分)抛物线 的顶点坐标是 ▲ .

【答案】(3，-6)。

【考点】二次函数的性质

【分析】把抛物线解析式的一般式配方为顶点式，再根据顶点式直接写出顶点坐标：

∵ ，∴抛物线 的顶点坐标是(3，-6)。

3.(上海市2003年2分)在平面直角坐标系内，从反比例函数 的图象上的一点分别作x、y轴的垂线段，与x、y轴所围成的矩形面积是12，那么该函数解析式是 ▲ 。

【答案】 。

【考点】反比例函数系数k的几何意义。

【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|：

根据题意，知|k|=12，k=±12，

又∵k>0，∴k=12。

∴该函数关系式为： 。

4.(上海市2005年3分)点A(2，4)在正比例函数的图象上，这个正比例函数的解析式是 ▲

【答案】 。

【考点】待定系数法求正比例函数解析式，曲线上的点与坐标的关系。

【分析】设这个正比例函数的解析式是 ，因为点A(2，4)在该正比例函数的图象上，所以有4=2 ，从而可求出 =2。从而得这个正比例函数的解析式是 。

5.(上海市2005年3分)如果将二次函数 的图象沿y轴向上平移1个单位，那么所得图象的函

数解析式是 ▲

【答案】 。

【考点】二次函数图象与平移变换。

【分析】直接利用平移的规律“左加右减，上加下减”，在原函数上加1可得新函数解析式 。

6.(上海市2006年3分)某型号汽油的数量与相应金额的关系如图所示，

那么这种汽油的单价是每升 ▲ 元。

【答案】5.09。

【考点】函数的图象。

【分析】根据图象知道100升油花费了509元，由此即可求出这种汽油的单价：单价=509÷100=5.09元。

7.(上海市2007年3分)如图，正比例函数图象经过点 ，该函数解析式是 ▲ .

【答案】 。

【考点】待定系数法求正比例函数解析式。

【分析】设该正比例函数的解析式为 ，

由图象可知，该函数图象过点A(1，3)，∴ 。

∴该正比例函数的解析式为 。

8.(上海市2008年4分)在平面直角坐标系中，如果双曲线 经过点 ，那么

▲ .

【答案】-2。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】因为双曲线 经过点 ，所以 满足方程，即 ，从而 。

9.(上海市2009年4分)反比例函数 图像的两支分别在第 ▲ 象限.

【答案】一、三。

【考点】反比例函数的性质。

【分析】根据反比例函数 的性质：当 时，图象分别位于第一、三象限;当 时，图象分别位于第二、四象限：∵反比例函数 的系数 ，∴图象两个分支分别位于第一、三象限。

10.(上海市2010年4分)一辆汽车在行驶过程中，路程 y(千米)与时间 x

(小时)之间的函数关系如图所示 当 0≤x≤1时，y关于x的函数解析式为

y = 60 x，那么当 1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为 ▲ .

【答案】y=100x-40。

【考点】函数图象，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】在0≤x≤1时，把x=1代入y = 60 x，则y=60，那么当 1≤x≤2时由两点坐标(1,60)与(2,160)

得当1≤x≤2时的函数解析式为y=100x-40。

11.(上海市2011年4分)如果反比例函数 ( 是常数， ≠0)的图像经过点(-1，2)，那么这个函数的解析式是 ▲ .

【答案】 。

【考点】曲线上的点与方程的关系。

【分析】根据点在曲线图上点的坐标满足方程的关系，把(-1，2)代入 ，得 ，即 ，那么这个函数的解析式是 。

三、解答题

1. (2001上海市10分)如图，已知抛物线y=2x2-4x+m与x轴交于不同的两点A、B，其顶点是C，点D是抛物线的对称轴与x轴的交点.

(1)求实数m的取值范围;

(2)求顶点C的坐标和线段AB的长度(用含有m的式子表示);

(3)若直线 分别交x轴、y轴于点E、F，问△BDC与△EOF是否有可能全等，如果可能，请证明;如果不可能，请说明理由.

【答案】解：(1)令y=0，则有2x2-4x+m=0，依题意有，△=16-8 m>0，∴m<2。

又∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，∴m>0.

因此实数m的取值范围为0

(2)∵ ，∴C(1，m-2)。

令y=0，2x2-4x+m =0，则 (由(1)知 )。

∴AB= 。

(3)在 中令y=0，得x= ，∴E( ，0)。

令x=0，得y=1，∴F(0，1)。

∴OE= ，OF=1。

由(2)可得BD= ， CD=2-m。

当OE=BD时， ，解得m =1。

此时OF=DC=1。

又∵∠EOF=∠CDB=90°，∴△BDC≌△EOF(SAS)。∴两三角形有可能全等。

【考点】二次函数综合题，一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，二次函数的性质和应用，全等三角形的判定。

【分析】(1)由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，因此对应的一元二次方程的根的判别式△>0，求解即可。

(2)直接根据顶点式得到顶点坐标和与x轴的交点坐标，再求AB的长度。

(3)要求判定△BDC与△EOF是否有可能全都，即指探索全都的可能性，本题已有∠CDE=∠EOF=90°，BD与OE或OF都可能是对应边，证出其中一种情形成立即可。

2.(上海市2002年10分)如图，直线y= x+2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S△ABP=9.

(1)求点P的坐标;

(2)设点R与点P的同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标.

【答案】解：(1)由题意，得点C(0，2)，点A(-4，0)。

设点P的坐标为(a， a+2)，其中a>0。

由题意，得S△ABP= (a+4)( a+2)=9，

解得a=2或a=-10(舍去)。

而当a=2时， a+2=3，∴点P的坐标为(2，3)。

(2)设反比例函数的解析式为 。

∵点P在反比例函数的图象上，∴ ，k=6 。

∴反比例函数的解析式为 。

设点R的坐标为(b， )，点T的坐标为(b，0)其中b>2，那么BT=b-2，RT= 。

①当△RTB∽△AOC时， ，即 ，

∴ ，解得b=3或b=-1(舍去)。

∴点R 的坐标为(3，2)。

②当△RTB∽△COA时， ，即 ，

∴ 　，解得b=1+ 或b=1- (舍去)。

∴点R 的坐标为(1+ ， )。

综上所述，点R的坐标为(3，2)或(1+ ， )。

【考点】一次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。

【分析】(1)根据点在直线上，点的坐标满足方程的性质，求出BP，AB的值从而可求出点P的坐标。

(2)设R点坐标为(x，y)，求出反比例函数.又因为△BRT∽△AOC，利用线段比联立方程组求出x，y的值。

3.(上海市2003年10分)卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分，在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB=5cm，拱高OC=0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB。如图，在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图：