(1)求出图上以这一部分抛物线为图像的函数解析式，写出函数定义域;

(2)如果DE与AB的距离OM=0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长(备用数据： ≈1.4，计算结果精确到1米)

【答案】解：(1)∵顶点C在y轴上，∴设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 。

∵点A( ，0)在抛物线上，∴ ，得 。

∴所求函数解析式为： 。

(2)∵点D、E的纵坐标为 ，∴ ，得 。

∴点D的坐标为( ， )，点E的坐标为( ， )。

∴DE= -( )= 。

因此月河河流宽度为 ×11000×0.01= (米)。

【考点】二次函数的应用，曲线上的点与方程的关系。

【分析】(1)因为C在y轴上，故设抛物线的解析式为 ，把A点坐标代入解析式求出a即可。

(2)因为点D、E的纵坐标相同，易求DE的长。

4.(上海市2003年10分)已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是 轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图，二次函数 的图象经过点A、B，与 轴相交于点C。

(1) 、 的符号之间有何关系?

(2)如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证 、 互为倒数;

(3)在(2)的条件下，如果 =-4，AB= ，求 、 的值。

【答案】解：(1)由图可知：当抛物线开口向下，即 <0时， <0(如图);

当抛物线开口向上，即 >0时， >0;

因此 、 同号。

(2)设A(m，0)，B(n，0)，

抛物线的解析式 中，令 =0，得： 。

∴OA•OB=mn= ，OC2= 。

∵OA•OB=OC2，∴ = ，解得 =1。

所以 、 互为倒数。

(3)由题意知： ，则m+n= ，mn= 。

∵AB= ，∴AB2=48。

∴(n-m)2=48，即(m+n)2-4mn=48， 。

解得 。∴ 。

因此 、 的值分别为： 、2或- 、-2。

【考点】二次函数综合题，一元二次方程根与系数的关系。

【分析】(1)根据A、B点的位置即可判断出当抛物线开口向下时，函数图象与y轴交于负半轴，当抛物线开口向上时，函数图象与 轴交于正半轴，即 、 同号。

(2)当CO2=OA•OB时，可用 表示出OC，用 、 表示出OA•OB，代入上式即可求得 、 是否为倒数关系。

(3)沿用(2)的思路，首先将 值代入抛物线的解析式中，可依据韦达定理表示出AB的长，几何 、 的倒数关系，即可求得 、 的值。

5.(上海市2004年12分)数学课上，老师出示图和下面框中条件。

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为(1，0)，点B在 轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作 轴的垂线，分别交二次函数 的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交 轴于点H，记点C、D的横坐标分别为 ，点H的纵坐标为 .

同学发现两个结论：

① ;

②数值相等关系： 。

(1)请你验证结论①和结论②成立;

(2)请你研究：如果将上述框中的条件“A点坐标(1，0)”改为“A点坐标为 ”，其他条件不变，结论①是否仍成立?(请说明理由)

(3)进一步研究：如果将上述框中的条件“A点坐标(1，0)”改为“A点坐标为 ”，又将条件“ ”改为“ ”，其他条件不变，那么 和 有怎么样的数值关系?(写出结果并说明理由)

【答案】解：(1)由已知可得点 的坐标为(2，0)，点C的坐标为(1，1)，点D的坐标为(2，4)，由点C坐标为(1，1)易得直线OC的函数解析式为

∴点M的坐标为(2，2)，

∴ 。

∴ ， 即结论①成立。

设直线CD的函数解析式为

则 ，得

∴直线CD的函数解析式为 ;

由上述可得，点H的坐标为(0，-2)， 。

∵ ，∴ ，即结论②成立。

(2)结论①仍成立，理由如下：

∵点A的坐标为 ，则点B坐标为( )，从而点C坐标为 ，点D坐标为 ，设直线OC的函数解析式为 ，则 ，得 。

∴直线OC的函数解析式为 。

设点M的坐标为( )，

∵点M在直线OC上， ∴当 时， ，点M的坐标为( )。

∴ 。

∴结论①仍成立。

(3) ，理由如下：

由题意，当二次函数的解析式为 ，且点A坐标为(t，0)( )时，点C坐标为( )，点D坐标为( )，设直线CD的函数解析式为

则

∴直线CD的函数解析式为 。

则点H的坐标为( )， 。

∵ ，∴ 。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)可先根据AB=OA得出B点的坐标，然后根据抛物线的解析式和A，B的坐标得出C，D两点的坐标，再依据C点的坐标求出直线OC的解析式.进而可求出M点的坐标，然后根据C、D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可。

(2)(3)的解法同(1)完全一样。

6.(上海市2005年10分)在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数

的图象与x轴的负半轴相交于点C(如图)，点C的坐标为(0，-3)，且BO=CO

一、求这个二次函数的解析式;

二、设这个二次函数的图象的顶点为M，求AM的长.

【答案】解：(1)∵C(0，-3)，OC=|-3|=3，∴ =-3。

又∵OC=BO，∴BO=3，∴B(3，0)。

∴9+3 -3=0， =-2。

∴这个二次函数的解析式为 。

(2)∵ ，∴M(1，-4)。

又由 解得 A(-1，0)，

∴AM= 。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理。

【分析】(1)由已知可得B(3，0)，又C(0，-3)，代入抛物线解析式可求 、 。

(2)求抛物线顶点坐标和A点坐标，在直角三角形中用勾股定理可求AM的长。

7.(上海市2006年12分)如图，在直角坐标系中， 为原点.点 在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数 的图象经过点 .

(1)求点 的坐标(5分);

(2)如果经过点 的一次函数图象与 轴的正半轴交于点 ，且 ，求这个一次函数的解析式(7分)。

【答案】解：(1)由题意，设点 的坐标为 ， .

∵点 在反比例函数 的图象上，得 ，解得 ， 。

经检验 ， 是原方程的根，但 不符合题意，舍去。

∴点 的坐标为 。

(2)由题意，设点 的坐标为 .

∵ ，∴ ，　解得 ，经检验 是原方程的根。

∴点 的坐标为 。

设一次函数的解析式为 ，

∵一次函数图象过点 ，∴ ，得 。

∴所求一次函数的解析式为 。

【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)根据 点位置及坐标特点，代入反比例函数解析式解方程即可求出 的坐标。

(2)根据题意求B点坐标，再求解析式。

8.(上海市2007年12分)如图，在直角坐标平面内，函数 ( ， 是常数)的图象经过 ， ，其中 .过点 作 轴垂线，垂足为 ，过点 作 轴垂线，垂足为 ，连结 ， ， .

(1)若 的面积为4，求点 的坐标;

(2)求证： ;

(3)当 时，求直线 的函数解析式.

【答案】解：(1)∵函数 ， 是常数)图象经过 ，∴ 。

设 交于点 ，据题意，可得 点的坐标为 ， 点的坐标为 ，

点的坐标为 。

∵ ，∴ ， 。

由 的面积为4，即 ，得 ，∴点 的坐标为 。

(2)证明：根据题意，点 的坐标为 ，则 。

∵ ，易得 ， ，

∴ ， 。∴ 。

∴ 。

(3)∵ ，∴当 时，有两种情况：

①当 时，四边形 是平行四边形，

由(2)得， ，∴ ，得 。

∴点 的坐标是(2，2)。

设直线 的函数解析式为 ，把点 的坐标代入，

得 解得 。

∴直线 的函数解析式是 。

②当 与 所在直线不平行时，四边形 是等腰梯形，

则 ，∴ ，∴点 的坐标是(4，1)。

设直线 的函数解析式为 ，把点 的坐标代入，

得 解得 。

∴直线 的函数解析式是 。

综上所述，所求直线 的函数解析式是 或 。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法，两直线平行的判定，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质。

【分析】(1)由函数 ( ， 是常数)的图象经过 ，根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，求出函数关系式，从而由 的面积为4求出点 的坐标。

(2)由已知，求出 ，即可证得 。

(3)分 和 与 所在直线不平行两种情况讨论即可。

9.(上海市2008年12分)如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点.二次函数 的图像经过点 ，顶点为 .

(1)求这个二次函数的解析式，并写出顶点 的坐标(5分);

(2)如果点 的坐标为 ， ，垂足为点 ，点 在直线 上， ，求点 的坐标(7分).

【答案】解：(1)∵二次函数 的图像经过点 ，

∴ ，得 。所求二次函数的解析式为 。

则这个二次函数图像顶点 的坐标为 。

(2)过点 作 轴，垂足为点 。

在 中， ， ， ，

∴ 。

在 中， ，又 ，可得 。∴ 。

过点 作 轴，垂足为点 。由题意知，点 在点 的右侧，

易证 .∴ 。

其中 ， 。设点 的坐标为 ，则 ， 。

①若点 在 的延长线上，则 ，得 ，

∴ ， 。∴点 的坐标为 。

②若点 在线段 上，则 ，得 ，

∴ ， 。∴点 的坐标为 。

综上所述，点 的坐标为 或 。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的顶点坐标，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，由二次函数 的图像经过点 ，可求得 ，从而得到二次函数的解析式。把二次函数的解析式化为顶点式 ，可得这个二次函数图像顶点 的坐标为 。

(2)过点 作 轴，垂足为点 ，过点 作 轴，垂足为点 。分点 在 的延长线上和点 在线段 上两种情况分别求出点 的坐标为 或 。

10.(上海市2010年12分)如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y=-x2+bx+c过点A(4,0)、B(1,3) .

(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;

(2)记该抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，

点E关于y轴的对称点为F，若四边形OAPF的面积为20，求m、n的值.

【答案】解：(1)将A(4,0)、B(1,3)两点坐标代入抛物线的方程得：

，解之得：b=4，c=0

∴抛物线的表达式为： 。

将抛物线的表达式配方得：

∴该抛物线的对称轴为x=2，顶点坐标为(2，4)。

(2)点p(m，n)关于直线x=2的对称点为点E(4-m，n)，点E关于y轴的对称点为点F(4-m,-n)。[来源:学.科.网]

则四边形OAPF可以分为：△OFA与△OAP，

∴ = + = =20

∴ =5。

∵点P为第四象限的点，∴n<0，∴n= -5。

代入抛物线方程得m=5。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的性质，轴对称的性质。

【分析】(1)根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将点A、B的坐标代入函数关系式即可求出b=4，c=0，得到抛物线的表达式。将表达式化为顶点式即可得到该抛物线的对称轴和顶点坐标。

(2)根据轴对称的性质可得到点E和F的坐标，由已知四边形OAPF的面积为20，列式求出n，

代入抛物线方程求得m。

11.(上海市2011年12分)已知平面直角坐标系 O (如图1)，一次函数 的图 像与 轴交于点A，点M在正比例函数 的图像上，且MO=MA.二次函数 = 2+b +c的图像经过点A、M.

(1)求线段AM的长;

(2)求这个二次函数的解析式;

(3)如果点B在 轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数 的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标.

【答案】解：(1)在一次函数 中，当 =0时， =3。∴A(0，3)。

∵MO=MA，∴M为OA垂直平分线上的点，而OA垂直平分线的解析式为 。

又∵点M在反比例函数 上，∴M(1， )。

又∵A(0，3).∴AM= 。

(2)∵二次函数 = 2+b +c的图象经过点A、M.可得

，解得 。∴这个二次函数的解析式 = 2- +3。

(3)∵点D在一次函数 y= 的图象上，

则可设D(n， )，设B(0，m)(m<3)，C(n， )。

∵四边形ABDC是菱形，

∴| AB |=3—m，| DC |= = -( )= 。

| AD |=

∵ | AB |=| DC |，∴3-m= ①。

∵| AB |=| AD |，∴3-m= ②。

解①②得，n 1=0(舍去)，n 2=2。

将n=2，代入C(n， )。∴点C的坐标为C(2，2)。

【考点】二次函数综合题，线段垂直平分线的性质，曲线上的点与方程的关系，待定系数法，菱形的性质，勾股定理。

【分析】(1)先求出根据OA垂直平分线上的解析式，再根据两点的距离公式求出线段AM的长。

(2)二次函数 = 2+b +c的图象经过点A、M.由待定系数法即可求出二次函数的解析式。

(3)可设D(n， )，，C(n， )且点C在二次函数 = 2- +3上，根据菱形的性质得出| AB |=| DC |，| AB |=| AD |，得到方程求解即可。

12.(2012上海市10分)某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y(万元/吨)与生产数量x(吨)的函数关系式如图所示.

(1)求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域;

(2)当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量.

(注：总成本=每吨的成本×生产数量)

【答案】解：(1)利用图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b，

将(10，10)(50，6)代入解析式得： ，解得： 。

∴y关于x的函数解析式为y= x+11(10≤x≤50)。

(2)当生产这种产品的总成本为280万元时，

x( x+11)=280，解得：x1=40，x2=70(不合题意舍去)。

∴该产品的生产数量为40吨。

【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组和一元二次方程。

【分析】(1)利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，得出x的定义域。

(2)根据总成本=每吨的成本×生产数量，利用(1)中所求得出即可。

13.(2012上海市12分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A(4，0)、B(﹣1，0)，与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE= ，EF⊥OD，垂足为F.

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)求线段EF、OF的长(用含t的代数式表示);

(3)当∠ECA=∠OAC时，求t的值.

【答案】解：(1)二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A(4，0)、B(﹣1，0)，

∴ ，解得 。

∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x2+6x+8。

(2)∵∠EFD=∠EDA=90°，∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°。∴∠DEF=∠ODA。

∴△EDF∽△DAO。∴ 。

∵ ，∴ 。

∵OD=t，∴ ，∴EF= 。

同理 ，∴DF=2，∴OF=t﹣2。

(3)∵抛物线的解析式为：y=﹣2x2+6x+8，∴C(0，8)，OC=8。

如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点.

∵∠ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA(等角的余角相等)。

在△CAG与△OCA中，

∵∠OAC=∠GCA，AC=CA，∠ECA=∠OAC，

∴△CAG≌△OCA(ASA)。∴CG=AO=4，AG=OC=8。

如图，过E点作EM⊥x轴于点M，

则在Rt△AEM中，EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+ ，

由勾股定理得： 。

在Rt△AEG中，由勾股定理得： 。

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