∴BP为⊙C的直径。

在Rt△PAB中，∠BPA=60°，PB=8，∴PA=4，AB= ，OA= 。

∴P( ，4)。

②当P在弧EBD上时，(图2)在△PAB和△GAP中，

∵∠PBA是△GBP的外角，∴∠PBA>∠PGB。，

又∵∠PAB=∠GAP，

∴欲使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似，须∠APB=∠PGB，

∵GP切⊙C于点P，∴∠GPB=∠PAG。

由三角形内角和定理知：∠ABP=∠GBP，∴∠ABP=∠GBP=90°。

在Rt△PAB中，∠BPA=60°，PA=8，

∴PB=4，AB= ，OB= ，∴P(- ，4)。

综上所述，存在点P1( ，4)、P2(- ，4)使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似。

【考点】圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定。

【分析】(1)点P可以在优弧AB上或在劣弧AB上，只需求得其中的一种情况，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得另一种情况.根据垂径定理得到 ，则 ，再根据半圆的度数是180°，从而求得 的度数是60°，则劣弧 的度数是120°，从而求得∠BPA的度数。

(2)分两种情况，即点P在y轴的左侧和右侧，若相似，根据相似三角形的对应角相等，分析得到两个三角形必是直角三角形，再结合(1)中求得的角的度数，运用解直角三角形的知识求解。

6. (江苏省常州市2005年12分)已知⊙O的半径为1，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系.有一个正方形ABCD，顶点B的坐标为( ，0)，顶点A在 轴上方，顶点D在⊙O上运动.

(1)当点D运动到与点A、O在一条直线上时，CD与⊙O相切吗?如果相切，请说明理由，并求

出OD所在直线对应的函数表达式;如果不相切，也请说明理由;

(2)设点D的横坐标为 ，正方形ABCD的面积为S，求出S与 的函数关系式，并求出S的最大

值和最小值.

【答案】解：(1)CD与⊙O相切。理由如下：

∵A、D、O在一直线上，∠ADC=90°，

∴∠COD=90°。∴CD是⊙O的切线 。

CD与⊙O相切时，有两种情况：

①切点在第二象限时(如图①)，

设正方形ABCD的边长为a，

则a2+(a+1)2=13，

解得a=2，或a=-3(舍去)。

过点D作DE⊥OB于E，则Rt△ODE≌Rt△OBA，

∴ ，即 。∴DE= ，OE= 。

∴点D的坐标是(- ， )。

∴OD所在直线对应的函数表达式为y= 。

②切点在第四象限时(如图②)，

设正方形ABCD的边长为b，

则b2+(b-1)2=13，

解得b=-2(舍去)，或b=3。

过点D作DF⊥OB于F，则Rt△ODF∽Rt△OBA，

∴ ，即 。

∴OF= ，DF= 。

∴点D的坐标是( ，- )。

∴OD所在直线对应的函数表达式为y= 。

(2)如图③，过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，

则BD2=BG2+DG2=(BO-OG)2+OD2-OG2

= 。

∴S=AB2= 。

∵-1≤x≤1，

∴S的最大值为 ，最小值为 。

【考点】一次函数综合题，圆切线的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)易证CD是⊙O的切线，分点D在第二象限和第四象限两种情况，求出D的坐标，根据待定系数法，求出函数解析式。

(2)过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，则BD2=BG2+DG2=(BO-OG)2+OD2-OG2，所以S=AB2= 。因为-1≤x≤1，所以S的最大值就可以求出。

7. (江苏省常州市2006年10分)如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与 轴相交于点A，与 轴相交于点B。

(1)点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由;

(2)在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形?若存在，请求出Q点的坐标;若不存在，请说明理由。

【答案】解：(1)线段AB长度的最小值为4。 理由如下：

连接OP，

∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB。

取AB的中点C，则AB=2OC 。

当OC=OP=2时，OC最短，即AB最短。

此时AB=4。

(2)设存在符合条件的点Q，设四边形APOQ为平行四边形

若OA是对角线， 如图①，

∵OP⊥AB，OP=OQ

∴四边形APOQ为正方形。

∴ 在Rt△OQA中， OQ=2，∠AOQ=450，

∴Q点坐标为( )。

若OP是对角线，如图②，

∵OQ∥PA，OP⊥AB，∴∠POQ=900。

又∵OP=OQ，∴∠PQO=450。

∵ PQ∥OA，∴ 轴。

设 轴于点H，

在Rt△OHQ中，OQ=2，∠HQO=450，

∴Q点坐标为( )。

综上所述，符合条件的点Q的坐标为( )或( )。

【考点】动点问题，切线的性质，坐标与图形性质，平行四边形的性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。

【分析】(1)如图，设AB的中点为C，连接OP，由于AB是圆的切线，故△OPC是直角三角形，有OP

(2)分两种情况：如图(1)，当OA是对角线时，△OPA，△OAQ都是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为( )：如图(2)，当OP是对角线时，可求得∠QOP=∠OPA=90°，由于OP=OQ，故△OPQ是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为( )。

8. (江苏省常州市2007年7分)已知 经过A(-4，2)，B(-3，3)，C(-1，-1)，O(0，0)四点，一次函数 的图象是直线 ，直线 与 轴交于点D.

(1)在下边的平面直角坐标系中画出 ，直线 与 的交点坐标为 ;

(2)若 上存在整点P(横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点)，使得△APD为等腰三角形，所有满足条件的点P坐标为 ;

(3)将 沿 轴向右平移 个单位时， 与 相切.

(4)将 沿 轴向右平移 个单位时， 与 相切.

【答案】解：(1)先在坐标系中找到A(-4，2)，B(-3，3)，C(-1，-1)，O(0，0)的坐标，然后画圆，过此四点：

(-4，2)(-1，-1)。

(2)(0，2)(-3，-1)。

(3)2+ 。

(4) 。

【考点】切线的判定，等腰三角形的判定，直线上点的坐标与方程的关系，线段中垂线的性质，勾股定理，平移的性质，平行的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】(1)要先在坐标系上找到这些点，作AB和AC的中垂线，以交点O1为圆心，以O O1为半径再画圆。

对一次函数 有，当 =0时， =-2;当 =0时， =-2，

从坐标系中先找出这两点，画过这两点的直线，即是一次函数 的图象。

与圆的交点，从图中可看出是;(-4，2)(-1，-1)。

(2)①若AD为底边，根据垂直平分线上的两点到线段两端的距离相等.作AD的垂直平分线，与圆的交点且是整点的点的坐标就是所求的坐标(如图)。从图可见，也可应用中垂线的性质和勾股定理求得(-4，2)(-1，-1)。

②若AD为腰，点A是顶点，由于AD大于圆的直径，所以此时以点A为圆心AD为半径的圆与 没有交点。因此，此时在 上不存在点P，使得△APD为等腰三角形。

③若AD为腰，点D是顶点，以点D为圆心AD为半径的圆与 交于另一点P，图中可见，点P不是整数点。因此，此时在 上不存在整点P(横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点)，使得△APD为等腰三角形。(也可计算确定点P不是整数点)

(3)要求平移多少个单位就要先求出圆的圆心坐标，然后再平移：

如图，由(2)①可知， 与 轴的另一交点P为(0，2)，作OP和AP的中垂线，交点即为圆心 ，结合O(0，0)，A(-4，2)，可得圆心 的坐标(-2，1)。

利用勾股定理求出圆的半径OO1 。

∴FG= O1F +O1G=2+ 。

∴将 沿x轴向右平移2+ ， 与 相切。

(4)如图，当 平移到 时，圆与直线 相切， 即为所求平移的距离。延长 交直线 于点M，过点 作 于点N，过点 作 于点Q。由(3)知 (-2，1)， 。

将 代入 ： ，得 ，即M(-3，1)。

即 。

由 和平行的性质知 ，∴ 。

由 ， 得 ∥ ，∴ ∽ .

∴ ,即 ，即 ，

解得 。

∴将 沿 轴向右平移 个单位时， 与 相切。

9. (江苏省常州市2008年11分)如图，抛物线 与x轴分别相交于点B、O，它的顶点为

A，连接AB，把AB所的直线沿y轴向上平移，使它经过原点O，得到直线l，设P是直线l上一动点.

(1) 求点A的坐标;

(2) 以点A、B、O、P为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接写出这些特殊

四边形的顶点P的坐标;

(3) 设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S，点P的横坐标为x，当 时，

求x的取值范围.

【答案】解：(1)∵ ，∴A(-2，-4)。

(2)当四边形ABP1O是菱形时，P1(-2，4);

当四边形ABOP2是等腰梯形时，P2( )：

当四边形ABP3O是直角梯形时，P3( );

当四边形ABO P4是直角梯形时，P4( )。

(3)∵A(-2，-4)，B(-4，0)。∴AB的解析式为 。

∴直线l的解析式为 。

设点P坐标为(x，-2x)。

①当点P在第二象限时，x<0， 。

又 ，

∴ 。

∵ ，

∴ ，解得 。

∴x的取值范围是 。

②当点P在第四象限时，x>0，过点A、P分别作x轴的垂线，垂足为A′、P′。

则

∴ ，解得 。

∴x的取值范围是 。

综上所述，当 时，x的取值范围为

或 。

10. (江苏省2009年12分)如图，已知射线 与 轴和 轴分别交于点 和点 .动点 从点 出发，以1个单位长度/秒的速度沿 轴向左作匀速运动，与此同时，动点 从点 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线 的方向作匀速运动.设运动时间为 秒.

(1)请用含 的代数式分别表示出点 与点 的坐标;

(2)以点 为圆心、 个单位长度为半径的 与 轴交于A、B两点(点 在点 的左侧)，连接PA、PB.

①当 与射线 有公共点时，求 的取值范围;

②当 为等腰三角形时，求 的值.

【答案】解：(1)∵ ，∴ 。∴ 。

过点 作 ⊥ 轴于点 ，

∵ ， ，∴ 。

又∵ ，且 ，

∴ ，即 。

∴ 。∴ 。

∴ 。

(2)①当 的圆心 由点 向左运动，使点 到点 时，有 ，即 。

当点 在点 左侧， 与射线 相切时，过点 作 射线 ，垂足为 ，则由 ，得 ，

则 .解得 。

由 ，即 ，解得 。

∴当 与射线 有公共点时， 的取值范围为 。

②(I)当 时，过 作 轴，垂足为 ，有 。

由(1)得， ， ，

∴ 。

又∵ ，∴ ，即 。

解得 。

(II)当 时，有 ，∴ ，解得 。

(III)当 时，有 ，

∴ ，即 。

解得 (不合题意，舍去)。

综上所述，当 是等腰三角形时， ，或 ，或 ，或 。

【考点】动点问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直线和圆的位置关系，等腰三角形时的性质，解一元二次方程。

【分析】(1)由 可得 ，从而得到点 的坐标。作点 作 ⊥ 轴于点 ，利用 可得 ，从而得到点 的坐标。

(2)①当 与射线 有公共点时，考虑(I)当 的圆心 由点 向左运动，使点 到点 时， 的取值 ;(II)当点 在点 左侧， 与射线 相切时， 的取值。当 在二者之间时， 与射线 有公共点。

②分 ， ， 三种情况讨论即可。

11. (江苏省常州市2010年6分)小明在研究了苏科版《有趣的坐标系》后，得到启发，针对正六边形OABCDE，自己设计了一个坐标系如图。该坐标系以O为原点，直线OA为x轴，以正六边形OABCDE的边长为一个单位长。坐标系中的任意一点P用一有序实数对(a，b)来表示，我们称这个有序实数对(a，b)为P点的坐标。坐标系中点的坐标的确定方法如下：

(1)x轴上点M的坐标为(m，0)，其中m为M在x轴上表示的实数;

(2)y轴上点N的坐标为(0，n)，其中n为N点在y轴上表示的实数;

(3)不在x、y轴上的点Q的坐标为(a，b)，其中a为过点Q且与y轴平行的直线与x轴的交点在x轴上表示的实数，b为过点Q且与x轴平行饿直线与y轴的交点在y轴上表示的实数。

则：(1)分别写出点A、B、C的坐标;

(2)标出点M(2，3)的位置;

(3)若点K(x，y)为射线OD上任一点，求x与y所满足的关系式。

【答案】.解：(1)A(1，0)，B(2，1)，C(2，2)。

(2)点M(2，3)的位置标注如下：

(3)设射线OD的解析式为： 。

∵D(1，2)在 上，∴ 。

∴x与y所满足的关系式为 。

【考点】新定义，坐标系和坐标，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)根据定义写出坐标。

(2)根据定义标出坐标。

(3)用待定系数法求出正比例函数。

12. (2011江苏常州7分)如图，在△ABO中，已知点 、 、 ，正比例函数 图像是直线 ，直线AC∥ 轴交直线 与点C。

⑴C点的坐标为 ;

⑵以点O为旋转中心，将△ABO顺时针旋转角 (90°< <180°)，使得点B落在直线 上的对应点为 ，点A的对应点为 ，得到△

①∠ =

②画出△

⑶写出所有满足△DOC∽△AOB的点D的坐标。

【答案】解：⑴(-3，3)。

⑵①900.

②以点O为圆心，OB长为半径画弧交直线 于B’。

以点O为圆心，OA长为半径画弧交AO的延长线于D;分别以点A，D为圆心，大于OA长半径画弧，两弧交于E，F，连接EF;以点O为圆心，OA长为半径画弧交EF于A’(在OB的反方向上)。

连接OA’，A’B’，△ A′OB′即为所求。(画图略)

⑶

【考点】一次函数，尺规作图，平移，旋转，相似三角形.

【分析】⑴C点的纵坐标与A点相同，为3，又C点在 上，所以C点的横坐标为-3。

⑵①由于点B坐标为(-1，-1)，从而OB与X轴负方向夹角为450，又OC与X轴负方向夹角为450，因此∠α=900。

②关键在作OA的垂线。

⑶易求 ，

，因此点A也按上述变形得D1： ，则 ;

作D1关于 图像(直线 )的对称点 ;

13. (2011江苏常州9分)在平面直角坐标系XOY中，一次函数 的图像是直线 ， 与 轴、 轴分别相交于A、B两点。直线 过点 且与直线 垂直，其中 >0。点P、Q同时从A点出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位;点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位。

⑴写出A点的坐标和AB的长;

⑵当点P、Q运动了多少秒时，以点Q为圆心，PQ为半径的⊙Q与直线 、 轴都相切，求此时 的值。

【答案】解：(1)∵一次函数 的图象直线 与x轴、y轴分别交于A、B两点，

∴y=0时，x=-4， ∴A(-4，0)，AO=4，

∴x=0时，y=3， ∴B(0，3)，BO=3， ∴AB=5。

∴A点坐标为(-4，0)，AB的长为5。

(2)由题意得：AP=4t，AQ=5t，

又∠PAQ=∠OAB， ∴△APQ∽△AOB， ∴∠APQ=∠AOB=90°。

∵点P在 上， ∴⊙Q在运动过程中保持与 相切，

①当⊙Q在y轴右侧与y轴相切时，PQ=OQ，

∴AQ=AO+OQ=4+PQ

由△APQ∽△AOB得：

∴PQ=6;

设 与⊙Q相切于E，连接QE，则∵⊙Q与 和 都相切，∴QE=PQ=6。

由△QEC∽△APQ∽△AOB，得： ，

∴ 。

②当⊙Q在y轴的左侧与y轴相切时，PQ=OQ，

∴AQ=AO—OQ=4—PQ

由△APQ∽△AOB得：

∴PQ= ;

设 与⊙Q相切于F，连接QF，则∵⊙Q与 和 都相切，∴QF=PQ= 。

由△QFC∽△APQ∽△AOB，得： ，

∴ 。

∴ 。

【考点】一次函数，勾股定理，相似三角形的判定的性质。圆心距和切线的关系。

【分析】(1)由点在直线上，点的坐标满足方程，很易求出A和B点的坐标，应用勾股定理即可求出AB的长。

(2)首先用相似三角形的判定方法得出相似三角形，再应用三角形对应边的比求出满足条件的 的值。

14. (2012江苏常州6分)在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A(1，0)、B(3，0)、C(2，1)、D(4，3)、E(6，5)、F(4，7)。按下列要求画图：以点O为位似中心，将△ABC向y轴左侧按比例尺2：1放大得△ABC的位似图形△A1B1C1，并解决下列问题：

(1)顶点A1的坐标为 ▲ ，B1的坐标为 ▲ ，C1的坐标为 ▲ ;

(2)请你利用旋转、平移两种变换，使△A1B1C1通过变换后得到△A2B2C2，且△A2B2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形(非正方形)。写出符合要求的变换过程。

【答案】解：作图如下：

(1)(-2，0)，(-6，0)，(-4，-2)。

(2)符合要求的变换有两种情况：

情况1：如图1，变换过程如下：

将△A2B2C2向右平移12个单位，再向上平移5个单位;再以B1为中心顺时针旋转900。

情况2：如图2，变换过程如下：

将△A2B2C2向右平移8个单位，再向上平移5个单位;再以A1为中心顺时针旋转900。

【考点】作图(位似、平移和旋转)网格问题，位似的性质，平移的性质，旋转的性质。

【分析】(1)作位似变换的图形的依据是相似的性质，基本作法是：①先确定图形的位似中心;②利用相似图形的比例关系作出关键点的对应点;③按原图形中的方式顺次连接对应点.要注意有两种情况，图形在位似中心的同侧或在位似中心的两侧。

(2)作平移变换时，找关键点的对应点也是关键的一步.平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点;②确定图形中的关键点;③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点;④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形。

作旋转变换时，找准旋转中心和旋转角度。

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