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方程组和不等式组中考试题与答案

专题3：方程(组)和不等式(组)

一、选择题

1. (2001江苏常州2分)一元二次方程x2+x+2=0的根的情况是【　　】

A. 有两个相等的实数根　 B.有两个不相等的实数根，且两根之和为-1

C.有两个不相等的实数根，且两根之积为2　　D.没有实数根

【答案】C。

【考点】一元二次方程根的判别式。

【分析】∵a=1，b=1，c=2，∴△ <0。∴方程没有实数根。故选C。

2.(2001江苏常州2分)两根分别为 ， 的一元二次方程是【　　】

A. B. C. 　　　D.

【答案】B。

【考点】一元二次方程根与系数的关系。

【分析】由题意可知： ，则根据一元二次方程根与系数的关系，四个方程中只有 符合题意。故选B。

3.(2001江苏常州2分)已知x1,x2是一元二次方程 的两个根，则 的值为【　　】

A.11　　　B. 　　C. 　　　　D.7

【答案】A。

【考点】一元二次方程根与系数的关系，代数式化简。

【分析】由根与系数的关系可知： ，

则 。故选A。

4. (2001江苏常州2分)已知等式 ，则x的值是【　　】

A.1 B.2 C.3 D.1或3

【答案】A。

【考点】解分式方程，二次根式的性质和化简。

【分析】由等式可知x-2≠0，按照x-2>0，x-2<0分类，将等式化简，解一元二次方程即可：

∵x-2≠0，

∴①当x-2>0时，原等式整理得1+(x-2)2=0，一个正数加一个非负数不可能为0，这种情况不存在。

②当x-2<0，即x<2时，原等式整理得：-1+(x-2)2=0，则x-2=1或x-2=-1，

解得x=3或x=1。

而x<2，所以，只有x=1符合条件。故选A。

5. (江苏省常州市2002年2分)一元二次方程x2-x+1=0的根的情况是【 】

A.有两个相等的实数根 B.无实数根

C.两个实数根的和与积都等于1 D.有两个不相等的实数根

【答案】B。

【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。

【分析】根据一元二次方程根的判别式判断：

∵a=1，b=-1，c=1，∴△=(-1)2-4×1×1=-3<0。

∴方程无实数根。故选B。

6. (江苏省常州市2002年2分)若x1和x2是方程2x2+3x-1=0的两个实数根，则 的值等于 【 】

A. B. C. –3 D.3

【答案】D。

【考点】一元二次议程根与系数的关系，求代数式的值。

【分析】由题意，得： ，

∴ 。故选D。

7. (江苏省常州市2002年2分)已知:a

A. ab<0 B. –a-b<0 C. a+b >0 D. >1

【答案】D。

【考点】有理数的运算法则，不等式的性质。

【分析】利用有理数的乘法或加法法则运算即可：

A、同号得正，错误;

B、两正数相加得正，错误;

C、两负数相加得负，错误;

D、两数相除，同号得正，但a的绝对值较大，所以 >1，正确。

故选D。

9. (江苏省常州市2003年2分)已知关于 的不等式 的解集如图所示，则 的值为【 】

(A)2 (B)1 (C)0 (D)-1

【答案】D。

【考点】解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集。

【分析】关于 的不等式，应先只把 看成未知数，求得 的解集，再根据数轴上的解集，来求得 的值： 。

∵在数轴上的不等式的解集为： >-2，

∴ 。故选D。

10. (江苏省常州市2004年2分)用换元法解方程 时，设 ，则原方程可化为【 】

(A) (B) (C) (D)

【答案】A。

【考点】换元法解分式方程。

【分析】如果设 那么 ，原方程可化为 ，即： 。故选A。

11. (江苏省常州市2004年2分)关于 的一元二次方程 根的情况是【 】

(A)有两个不相等实数根 (B)有两个相等实数根

(C)没有实数根 (D)根的情况无法判定

【答案】A。

【考点】一元二次方程根的判别式。

【分析】判断一元二次方程方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号即可：

∵a=1，b=2k+1，c=k-1，

∴ 。

∴方程有两个不等的实数根。故选A。

12. (江苏省常州市2006年2分)小刘同学用10元钱买两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元，设1元的贺卡为 张，2元的贺卡为 张，那么 、 所适合的一个方程组是【 】

A. B. C. D.

【答案】D。

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组。

【分析】此题的等量关系为：①1元的贺卡张数+2元的贺卡张数=8张，即; ;②1元的贺卡钱数+2元的贺卡钱数=10元，即 。故选D。

13. (江苏省常州市2006年2分)如果 ，那么下列关系式中正确的是【 】

A. B.

C. D.

【答案】D。

【考点】不等式的性质

【分析】由已知条件确定 ， ，- ，- 的符号与绝对值，从而进行判断：

∵ <0， >0，∴- >0，- <0。

∵ ，∴负数 的绝对值较大。

∴ 故选D。

14. (江苏省常州市2007年2分)小明和小莉出生于1998年12月份，他们的出生日不是同一天，但都是星期五，且小明比小莉出生早，两人出生日期之和是22，那么小莉的出生日期是【 】

A.15号 B.16号 C.17号 D.18号

【答案】D。

【考点】不定方程组的应用。

【分析】设小明出生日期是 ，小莉出生日期是 ，则由他们的出生日都是星期五，且小明比小莉出生早，得 ，其中 是整数且 。又由两人出生日期之和是22，得 ，即 。

将 代入 ，得 。

∴要使 为整数，则 必为偶数。

又∵ ，∴ =2或4(不合题意，舍去)。

当 =2时， =18。故选D。

15. (2012江苏常州2分)已知a、b、c、d都是正实数，且 ，给出下列四个不等式：

① ;② ;③ ;④ 。

其中不等式正确的是【 】

A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③

【答案】A。

【考点】不等式的性质。

【分析】根据不等式的性质，计算后作出判断：

∵a、b、c、d都是正实数，且 ，∴ ，即 。

∴ ，即 ，∴③正确，④不正确。

∵a、b、c、d都是正实数，且 ，∴ 。∴ ，即 。

∴ 。∴①正确，②不正确。

∴不等式正确的是①③。故选A。

二、填空题

1. (2001江苏常州2分)已知方程是 的一个根是1，则它的另一个根是　　▲　　，m的值是　　▲　　.

【答案】2;2。

【考点】一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系。

【分析】∵一元二次方程 的一个根是1，

∴把x1=1代入 ，得1-3+m=0，解得m=2。

根据一元二次方程根与系数的关系，1+x2=3，得x2=3-1=2。

2. (江苏省常州市2002年1分)已知方程x2+mx-6=0的一个根为-2，则另一个根是 ▲ .

【答案】3。

【考点】一元二次方程根与系数的关系

【分析】直接根据一元二次方程根与系数的关系中的两根之积就可以求出另一个根：

∵x2+mx-6=0的一个根为-2，且两根之积为-6，

∴另一个根x=-6÷(-2)=3。

3. (江苏省常州市2003年3分)已知一元二次方程 的两个根是 ， ，则

▲ ， ▲ ， ▲ 。

【答案】3;1;-3。

【考点】一元二次方程的根与系数的关系。

【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积： ， 。

把 变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，得：

。

4. (江苏省常州市2003年2分)请写出一个根为 ，另一根满足 的一元二次方程 ▲ 。

【答案】 (答案不唯一)。

【考点】一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解。

【分析】利用分解因式法可以解一元二次方程，就也可以利用这个特点构造方程：

由题意知，另一根为0时，满足 ，

∴方程可以为： 或 或 等等。

5. (江苏省常州市2004年3分)已知一元二次方程 的两个根是 、 ，则 =

▲ ， = ▲ ， = ▲ 。

【答案】2;-1;6。

【考点】一元二次方程根与系数的关系。

【分析】确定方程中a、b、c的值，然后根据两根之积或两根之和公式求进行计算：

由题意可知：a=1，b=-2，c=-1

由根与系数的关系可知： ， ，

∴ 。

6. (江苏省2009年3分)某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元.设人均年收入的平均增长率为 ，则可列方程 ▲ .

【答案】7800(1+x)2=9100。

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程(增长率问题)。

【分析】由人均年收入的平均增长率为 ，2009年农民人均年收入为7800(1+ )，则2010年农民人均年收入为7800(1+x) (1+x) =7800(1+x)2=9100。

7. (2011江苏常州2分)已知关于 的方程 的一个根为2，则m= ▲ ，另一个根是 ▲ 。

【答案】1， -3。

【考点】一元二次方程。

【分析】把2代入 求出 ，从而求出另一个根是-3。

8. (2012江苏常州2分)已知关于x的方程 的一个根是2，则m= ▲ ，另一根为

▲ 。

【答案】1， 。

【考点】方程根的意义，解一元二次方程。

【分析】∵关于x的方程 的一个根是2，∴ ，解得m=1。

∴方程为 ，解得另一根为 。

【本题或用根与系数的关系求角】

三、解答题

1. (2001江苏常州5分)解方程：

【答案】解：两边都平方，化为整式方程得2x+3=x2，

整理得(x-3)(x+1)=0，

解得x=3或-1.

经检验，x=-1是原方程的解。

【考点】解无理方程。

【分析】两边平方，把无理方程转换为整式方程求解。

2.( 2001江苏常州5分)解方程组：

【答案】解：由 得 ，

把 ，得 即 。

∴x、y是方程 的解。

解方程 ，得z1=3，z2=4。

∴原方程的解为： 或 。

【考点】解高次方程，一元二次方程根与系数的关系。

【分析】把 化为 ，把 代入得到：xy=12，故根据一元二次方程的根与系数的关系构造新的一元二次方程，求得该方程的解，即为原方程的解。

3. (2001江苏常州6分)在容器里有180C的水6立方分米，现在要把8立方分米的水注入里面，使容器里混合的水的温度不低于300C，且不高于360C。求注入的8立方分米的水的温度应该在什么范围?

【答案】解：设1dm3的水高1℃或降低1℃吸收或放出的能量为q，注入水的温度为x℃，根据题意得

，解得39℃≤x≤49.5℃。

答：注入的8dm3的水的温度应该在39℃～49.5℃的范围。

【考点】一元一次不等式组的应用。

【分析】由冷水升温吸收的能量与热水放出的能量之间的关系，再根据题中关键描述语：使容器里混合的水的温度不低于30℃，且不高于36℃，列出不等式即可。

4. (2001江苏常州7分)(1)阅读下列内容：

几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。

例如，考察代数式(x-1)(x-2)的值：

当x<1时，x-1<0，x-2<0，∴(x-1)( x-2)>0;

当10，x-2<0，∴(x-1)( x-2)<0;

当x>2时，x-1>0，x-2>0，∴(x-1)( x-2)>0;

∴当x<1或x>2时，(x-1)( x-2)>0;

当1

(2)填写下表：(用“+”或“-”填入空格)

x<-2 -25

x+2 - + + + + +

x+1 - + + + +

x-3 - - + + +

x-4 - - - +

x-5 - - - - - +

(x+2)(x+1)(x-3)(x-4)(x-5) - + +

(3)根据以上填表，写出当x__________________时，

请你运用所发现的规律，写出当x___________________________时，

【答案】解：(2)填表如下：

x<-2 -25

x+2 - + + + + +

x+1 - - + + + +

x-3 - - - + + +

x-4 - - - - + +

x-5 - - - - - +

(x+2)(x+1)(x-3)(x-4)(x-5) - + - + - +

(3)x<-2或-1

x<8或911。

【考点】分类归纳(数字的变化类)，不等式的性质。

【分析】(2)将区间内一点代入即可确定各单项式在各区间的符号;

根据不等式“正正得正，正负得负，负负得正”的规律可确定多项式在的各区间的符号。

(3)从表中可得，当x<-2或-1

列表;

x<8 811

X-8 - + + + +

X-9 - - + + +

X-10 - - - + +

X-11 - - - - +

+ - + - +

从表中可得，当x<8或911时， 。

5. (江苏省常州市2002年5分)解方程

【答案】解：方程两边都乘x-3，得x2-3=6，

解得x=3或-3。

经检验x=-3是原方程的解。

【考点】解分式方程。

【分析】本题的最简公分母是(x-3).方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解。结果需检验。

6. (江苏省常州市2002年5分)解方程组：

【答案】解： ，

由②得x=3y，…③

将③代入①得：(3y)2+y2=40，解得y1=2，y2=-2。

将y1=2代入③得x1=6，

将y2=-2代入③得x2=-6。

∴原方程组的解为 。

【考点】解高次方程。

【分析】解高次方程的解题思想是消元，把②变形为x=3y，代入①，得到关于x的一元二次方程，再解此方程即可。

7. (江苏省常州市2002年7分)一个三位数，它的十位上的数字是百位上数字的3倍，个位上数字是百位上数字的2倍，设这个三位数个位上的数字是x，十位上的数字为y，百位上的数字为z