∴ ，解得 。

∴抛物线的解析式为： . (2)证明：设直线l1的解析式为y=kx+b，由直线l1经过A(-1，0)，C(0， )，得

∴ ，解得 ，∴直线l1的解析式为：y=- x 。

直线l2经过B(3，0)，C(0， )两点，同理可求得直线l2解析式为：y= x 。

∵抛物线 ，

∴对称轴为x=1，D(1，0)，顶点坐标为F(1， )。

点E为x=1与直线l2：y= x 的交点，令x=1，得y= ，∴E(1， )。

点G为x=1与直线l1：y=- x 的交点，令x=1，得y= ，∴G(1， )。

∴各点坐标为：D(1，0)，E(1， )，F(1， )，G(1， )，它们均位于对称轴x=1上。

∴DE=EF=FG= 。

(3)如图，过C点作C关于对称轴x=1的对称点P1，CP1交对称轴于H点，连接CF，PG。

△PCG为等腰三角形，有三种情况：

①当CG=PG时，如图，由抛物线的对称性可知，此时P1满足P1G=CG。

∵C(0， )，对称轴x=1，∴P1(2， )。

②当CG=PC时，此时P点在抛物线上，且CP的长度等于CG。

如图，C(1， )，H点在x=1上，∴H(1， )。

在Rt△CHG中，CH=1，HG=|yG-yH|=| -( )|= ，

∴由勾股定理得： 。∴PC=2.

如图，CP1=2，此时与①中情形重合。

又Rt△OAC中， ，∴点A满足PC=2的条件，但点A、C、G在同一条直线上，所以不能构成等腰三角形。

③当PC=PG时，此时P点位于线段CG的垂直平分线上.

∵l1⊥l2，∴△ECG为直角三角形。

由(2)可知，EF=FG，即F为斜边EG的中点。

∴CF=FG，∴F为满足条件的P点，∴P2(1， )。

又 ，∴∠CGE=30°。∴∠HCG=60°。

又P1C=CG，∴△P1CG为等边三角形。

∴P1点也在CG的垂直平分线上，此种情形与①重合。

综上所述，P点的坐标为P1(2， )或P2(1， )。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】(1)已知A、B、C三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式。

(2)D、E、F、G四点均在对称轴x=1上，只要分别求出其坐标，就可以得到线段DE、EF、FG的长度。D是对称轴与x轴交点，F是抛物线顶点，其坐标易求;E是对称轴与直线l2交点，需要求出l2的解析式，G是对称轴与l1的交点，需要求出l1的解析式，而A、B、C三点坐标已知，所以l1、l2的解析式可以用待定系数法求出。从而问题得到解决。

(3)△PCG为等腰三角形，需要分三种情况讨论：CG=PG，CG=PC，PC=PG。

5. (2012贵州黔东南12分)我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案.甲家是35人(含35人)以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费;乙家是45人(含45人)以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费.如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些?

【答案】解：设总人数是x，

当x≤35时，选择两个，宾馆是一样的;当35

当x>45时，甲宾馆的收费是：y甲=35×120+0.9×120×(x﹣35)=108x+420;

乙宾馆的收费是y乙=45×120+0.8×120(x﹣45)=96x+1080。

当y甲=y乙时，108x+420=96x+1080，解得：x=55;

当y甲>y乙时，即108x+420>96x+1080，解得：x>55;

当y甲

综上所述，当x≤35或x=55时，选择两个宾馆是一样的;

当35

当x>55时，选乙宾馆比较便宜。

【考点】一次函数的应用。

【分析】当x≤35时，选择两个，宾馆是一样的;当3535时，两个宾馆的收费可以表示成人数x的函数，比较两个函数值的大小即可。

6. (2012贵州黔东南12分)如图，已知抛物线经过点A(﹣1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点.

(1)求抛物线的解析式.

(2)点M是线段BC上的点(不与B，C重合)，过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长.

(3)在(2)的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大?若存在，求m的值;若不存在，说明理由.

【答案】解：(1)∵抛物线经过点A(﹣1，0)、B(3，0)两点，

∴设抛物线的解析式为：y=a(x+1)(x﹣3)，

将C(0，3)代入，得a(0+1)(0﹣3)=3，a=﹣1。

∴抛物线的解析式：y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3。

(2)设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：

，解得 。∴直线BC的解析式：y=﹣x+3。

已知点M的横坐标为m，则M(m，﹣m+3)、N(m，﹣m2+2m+3);

∴MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0

(3)存在。如图;

∵S△BNC=S△MNC+S△MNB= MN(OD+DB)= MN•OB，

∴S△BNC= (﹣m2+3m)•3

=﹣ (m﹣ )2+ (0

∴当m= 时，△BNC的面积最大，最大值为 。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数最值。

【分析】(1)由抛物线经过点A(﹣1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点.用待定系数法即可求。

(2)求得直线BC的解析式，即可由点M的横坐标为m得其纵坐标为﹣m+3，结合点N的纵坐标﹣m2+2m+3即可用m的代数式表示MN的长。

(3)求出S△BNC关于m的函数关系式，应用二次函数最值原理即可求得结论。

7. (2012贵州黔南12分)如图，对称轴为x=3的抛物线 与x轴相交于点B、O。

(1)求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标;

(2)连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l。点P是l上一动点。设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0

(3)在(2)的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边。若存在，直接写岀点Q的坐标;若不存在，说明理由。(平面几何有个结论：如果两直线垂直，那么它们的斜率的乘积为-1，坐标轴所在直线除外)

【答案】解：(1)∵点B与O(0，0)关于x=3对称，∴点B坐标为(6，0)。

将点B坐标代入 得：36a+12=0。∴a= 。

∴抛物线解析式为 。

当x=3时， 。∴顶点A坐标为(3，3)。

(2)设直线AB解析式为y=kx+b，

∵A(3，3)，B(6，0)，∴ ，解得 。

∴直线AB解析式为y=-x+6。

∵直线l∥AB且过点O，∴直线l解析式为y=-x。

∵点P是l上一动点且横坐标为t，∴点P坐标为(t，-t)。

当P在第四象限时(t>0)，则

。

∵0

又t>0，∴0

当P在第二象限时(t<0)，作PM⊥x轴于M。

设对称轴与x轴交点为N，则

。

∵0

又t<0，∴-3≤t<0。∴t的取值范围是-3≤t<0或0

(3)存在。点Q坐标为(3，3)或(6，0)或(-3，-9)。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程关系，二次函数的性质，直角坐标三角形的判定。

由(2)知t的最大值为3，则P(3，-3)。

过O、P作直线m、n垂直于直线l。

∵直线l的解析式为y=-x，

∴直线m的解析式为y=x。

可设直线n的解析式为y=x+h，则有：

3+h=-3，h=-6。∴直线n：y=x-6。

联立直线m与抛物线的解析式得：

，解得， 或 。

∴Q1(3，3)。

联立直线n与抛物线的解析式得：

，解得， 或 。

∴Q2(6，0)，Q3(-3，-9)。

综上所述，当t取最大值时，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边的抛物线上存在的点Q为：

Q1(3，3)，Q2(6，0)，Q3(-3，-9)。

8. (2012贵州黔西南16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，抛物线的对称轴l与x轴相交于点M.

(1)求抛物线对应的函数解析式和对称轴;

(2)设点P为抛物线(x>5)上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标;

(3)连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大?若存在，请你求出点N的坐标;若不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)∵抛物线经过点B(1，0)，C(5，0)，∴设抛物线对应的函数解析式为 。

又∵抛物线经过点A(0，4)，∴ ，解得 。

∴抛物线对应的函数解析式为 ，即 。

又∵ ，∴抛物线的对称轴为x=3。

(2)(6，4)。

(3)存在。△NAC的面积最大，即点N距AC的距离最大，此时点N在直线AC下方的抛物线上，过点N与直线AC平行的直线与抛物线只有一个交点。

设直线AC： ，则 ，解得 。∴直线AC： 。

设过点N与直线AC平行的直线为 。

由 整理得 。

∵直线 与抛物线 只有一个交点，

∴ ，解得 。

∴ ，解得 。

当 时， 。∴N( ，-3)。

∴在直线AC下方的抛物线上存在一点N( ，-3)，使△NAC的面积最大。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式

【分析】(1)由抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，用待定系数法可求出抛物线对应的函数解析式，化为顶点式(或用公式)可求抛物线的对称轴。

(2)由A(0，4)和对称轴x=3知OA=4，OM=3。

由点P为抛物线(x>5)上的一点，知PA>PM>2。

∴由以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，只能是PA=6，PM=5。由二次函数的轴对称性和勾股定理，知点P与点A关于对称轴对称。∴P(6，4)。

(3)△NAC的面积最大，即点N距AC的距离最大，此时点N在直线AC下方的抛物线上，过点N与直线AC平行的直线与抛物线只有一个交点。应用一元二次方程根的判别式即可求解。

9. (2012贵州铜仁14分)如图，已知：直线 交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c

经过A、B、C(1，0)三点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点D的坐标为(-1，0)，在直线 上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标;

(3)在(2)的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积?如果存在，请求出点E的坐标;如果不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)由题意得，A(3，0)，B(0，3)，

∵抛物线经过A、B、C三点，

∴把A(3，0)，B(0，3)，C(1，0)三点分别代入y=ax2+bx+c得方程组

，解得： 。

∴抛物线的解析式为 。

(2)由题意可得：△ABO为等腰三角形，如图1所示，

若△ABO∽△AP1D，连接DP1，则 ，

∴DP1=AD=4。∴P1 。

若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，连接DP2，

∵△ABO为等腰三角形,

∴△ADP2是等腰三角形。

由三线合一可得：DM=AM=2= P2M，即点M与点C重合。∴P2(1，2)。

(3)不存在。理由如下：

如图2设点E ，则

①当P1(-1，4)时，

S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE

∴ 。 ∴ 。

∵点E在x轴下方 ∴ 。代入得： ,即

∵△=(-4)2-4×7=+12<0，∴此方程无解。

∴当P1(-1，4)时，在x轴下方的抛物线上，不存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE

的面积。

②当P2(1，2)时，

∴ 。∴ 。

∵点E在x轴下方，∴ 。代入得： ，即

∵△=(-4)2-4×5=-4<0，∴此方程无解。

∴当P2(1，2)时，在x轴下方的抛物线上，不存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE

的面积。

综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE

的面积。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质，一元二次方程根的判别式。

【分析】(1)求出A(3，0)，B(0，3)，由A、B、C三点坐标用待定系数法即可求得抛物线的解析式。

(2)根据等腰三角形的判定和性质和相似三角形的性质即可求出点P的坐标。

(3)由(2)的两解分别作出判断。

10. (2012贵州遵义10分)为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中折线反映了每户每月用电电费y(元)与用电量x(度)间的函数关系式.

(1)根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表：

档次 第一档 第二档 第三档

每月用电量x(度) 0

(2)小明家某月用电120度，需交电费 元

(3)求第二档每月电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系式;

(4)在每月用电量超过230度时，每多用1度电要比第二档多付电费m元，小刚家某月用电290度，交电费153元，求m的值.

【答案】解：(1)根据图象，填表如下：

档次 第一档 第二档 第三档

每月用电量x(度) 0230

(2)54.

(3)设第二档每月电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系式为：y=ax+c，

将(140，63)，(230，108)代入得：

，解得： 。

∴第二档每月电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系式为：y=0.5x﹣7(140

(4)根据题意，第三档每月电费y1(元)与用电量x(度)之间的函数关系式为

。

∵小刚家某月用电290度，交电费153元，

∴ ，解得m=0.4。

答：m的值为0.4。

【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】(1)利用函数图象可以得出，阶梯电价方案分为三个档次，利用横坐标可得出：第二档，第三档中x的取值范围;

(2)设解析式为：y=kx，将(140，63)代入得出：k= =0.45。∴y=0.45x。

当x=120，y=0.45×120=54(元)。

(3)设第二档每月电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系式为：y=ax+c，将(140，63)，(230，108)代入得出即可。

(4)求出第三档每月电费y1(元)与用电量x(度)之间的函数关系式，将(290，153)代入即可求出m的值。

11. (2012贵州遵义14分)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为(3，﹣ ).

(1)求抛物线的函数解析式及点A的坐标;

(2)在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB;

(3)在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似?如果存在，请求出Q点的坐标;如果不存在，请说明理由.

【答案】解：(1)由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax2+bx(a≠0)，

又∵函数的顶点坐标为(3，﹣ )，

∴ ，解得： 。

∴函数解析式为： 。

由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为(6，0)。

(2)∵S△POA=2S△AOB，

∴点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2 。

代入函数解析式得： ，解得：x1=3+ ，x2=3﹣ 。

∴满足条件的有两个，P1(3+ ，2 )，P2(3﹣ ，2 )。

(3)存在。

过点B作BP⊥OA，则tan∠BOP=tan∠BAP= 。

∴∠BOA=30°。

设Q1坐标为(x， )，过点Q1作Q1F⊥x轴，

∵△OAB∽△OQ1A，∴∠Q1OA=30°，

∴OF= Q1F，即x= ，解得：x=9或x=0(舍去)。

∴Q1坐标为(9，3 )，

根据函数的对称性可得Q2坐标为(﹣3，3 )。

∴Q点的坐标(9，3 )，(﹣3，3 )。

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