20.(8分)先化简，再求值：( ) ，其中a满足a2+a﹣1=0.

考点： 分式的化简求值..

专题： 计算题.

分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除数分母利用平方差公式分解因式，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，由已知方程求出a的值，代入计算即可求出值.

解答： 解：∵a2+a﹣1=0，即a2=﹣(a﹣1)，

∴原式= ÷

= •

=

=

=﹣1.

点评： 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母;分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式.

21.(8分)关于x的一元二次方程x2﹣x+p﹣1=0有两个实数根x1、x2.

(1)求p的取值范围;

(2)若 ，求p的值.

考点： 根的判别式;根与系数的关系..

专题： 计算题.

分析： (1)根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac的意义得到△≥0，即12﹣4×1×(p﹣1)≥0，解不等式即可得到p的取值范围;

(2)根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的定义得到x12﹣x1+p﹣1=0，x22﹣x2+p﹣1=0，则有x12﹣x1=﹣p+1=0，x22﹣x2=﹣p+1，然后把它们整体代入所给等式中得到(﹣p+1﹣2)(﹣p+1﹣2)=9，解方程求出p，然后满足(1)中的取值范围的p值即为所求.

解答： 解：(1)∵方程x2﹣x+p﹣1=0有两个实数根x1、x2，

∴△≥0，即12﹣4×1×(p﹣1)≥0，解得p≤ ，

∴p的取值范围为p≤ ;

(2)∵方程x2﹣x+p﹣1=0有两个实数根x1、x2，

∴x12﹣x1+p﹣1=0，x22﹣x2+p﹣1=0，

∴x12﹣x1=﹣p+1=0，x22﹣x2=﹣p+1，

∴(﹣p+1﹣2)(﹣p+1﹣2)=9，

∴(p+1)2=9，

∴p1=2，p2=﹣4，

∵p≤ ，

∴p=﹣4.

点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根;当△=0，方程有两个相等的实数根;当△<0，方程没有实数根.也考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的定义.

22.(8分)如图，AB、CD是⊙O的弦，∠A=∠C.求证：AB=CD.

考点： 圆心角、弧、弦的关系..

专题： 证明题.

分析： 连接BO，OD，利用等腰三角形性质证圆心角相等，即可得出AB=CD.

解答： 解：连接BO，OD，

∵OA=OB，

∴∠A=∠B，

∵OC=OD，

∴∠C=∠D，

∵∠A=∠C，

∴∠AOB=∠COD，

∴AB=CD.

点评： 此题主要考查了圆周角定理和等弧对等弦，以及全等三角形的判定和性质.

23.(10分)(2006•上海)已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC=14，AD=12，sinB= .

求：(1)线段DC的长;

(2)tan∠EDC的值.

考点： 解直角三角形;直角三角形斜边上的中线..

专题： 计算题.

分析： (1)在Rt△ABD中，根据已知条件求出边AB的长，再由BC的长，可以求出CD的长;

(2)根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出∠C=∠EDC，从而求出∠C的正切值即求出了tan∠EDC的值.

解答： 解：(1)∵AD是BC边上的高，△ABD和△ACD是Rt△，

在Rt△ABD中，

∵sinB= ，AD=12，

∴ ，

∴AB=15，

∴BD= ，

又∵BC=14，

∴CD=5;

(2)在Rt△ACD中，

∵E为斜边AC的中点，

∴ED=EC= AC，

∴∠C=∠EDC，

∴tan∠EDC=tanC= .

点评： 此题要灵活应用三角函数公式和解直角三角形的公式，同时还要掌握“直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半“等知识点.

24.(10分)国家为了加强对房地产市场的宏观调控，抑制房价的过快上涨，规定购买新房满5年后才可上市转卖，对二手房买卖征收差价的x%的附加税.某城市在不征收附加税时，每年可成交10万套二手房;征收附加税后，每年减少0.1x万套二手房交易.现已知每套二手房买卖的平均差价为10万元.如果要使每年征收的附加税金为16亿元，并且要使二手房市场保持一定的活力，每年二手房交易量不低于6万套.问：二手房交易附加税的税率应确定为多少?

考点： 一元二次方程的应用..

分析： 国家征收的附加税金总额=二手房的销售额(即单价×销售量)×征收的税率.以此可得出方程，然后根据“不低于6万套”舍去不合题意的解.

解答： 解：设税率应确定为x%，

根据题意得10(10﹣0.1x)•x%=16，

x2﹣100x+1600=0，

解得x1=80，x2=20，

当x2=80时，10﹣0.1×80=2<6，不符合题意，舍去，

x1=20时，100﹣0.1×20=8>6，

答：税率应确定为20%.

点评： 此题考查了一元二次方程的应用，此题不仅是一道实际问题，而且结合了现在房价问题，是一个比较典型的题目.

25.(10分)(2011•宁波)如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G.

(1)求证：DE∥BF;

(2)若∠G=90°，求证：四边形DEBF是菱形.

考点： 菱形的判定;平行四边形的性质..

专题： 证明题;压轴题.

分析： (1)根据已知条件证明BE=DF，BE∥DF，从而得出四边形DFBE是平行四边形，即可证明DE∥BF，

(2)先证明DE=BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论.

解答： 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD.

∵点E、F分别是AB、CD的中点，

∴BE= AB，DF= CD.

∴BE=DF，BE∥DF，

∴四边形DFBE是平行四边形，

∴DE∥BF;

(2)∵∠G=90°，AG∥BD，AD∥BG，

∴四边形AGBD是矩形，

∴∠ADB=90°，

在Rt△ADB中

∵E为AB的中点，

∴DE=BE，

∵四边形DFBE是平行四边形，

∴四边形DEBF是菱形.

点评： 本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定，直角三角形的性质：在直角三角形中斜边中线等于斜边一半，比较综合，难度适中.

26.(10分)如图，已知斜坡AB长60米，坡角(即∠BAC)为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.(下面两小题的结果都精确到0.1米，参考数据： ≈1.732)

(1)若修建的斜坡BE的坡度为1：0.8，则平台DE的长为　14.0　米;

(2)斜坡前的池塘内有一座建筑物GH，小明在平台E处测得建筑物顶部H的仰角(即∠HEM)为30°，测得建筑物顶部H在池塘中倒影H′的俯角为45°(即∠H′EM)，测得点B、C、A、G、H、H′在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，求建筑物GH的高和AG的长.

考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题;解直角三角形的应用-仰角俯角问题..

分析： (1)由三角函数的定义，即可求得DF与BF的长，又由坡度的定义，即可求得EF的长，继而求得平台DE的长;

(2)首先设GH=x米，由三角函数的定义，即可求得GH的长，继而求得答案.

解答： 解：(1)∵FM∥CG，

∴∠BDF=∠BAC=30°，

∵斜坡AB长60米，D是AB的中点，

∴BD=30米，

∴DF=BD•cos∠BDF=30× =15 ≈25.98(米)，BF=BD•sin∠BDF=30× =15(米)，

∵斜坡BE的坡度为1：0.8，

∴ = ，

解得：EF=12(米)，

∴DE=DF﹣EF=25.98﹣12≈14.0(米);

故答案为：14.0;

(2)设GH=x米，

则MH=GH﹣GM=x﹣15(米)，GH′=GH=x米，MH′=GH′+GM=x+15(米)，

在Rt△EMH中，tan30°= = ，

在Rt△EMH′中，tan45°= =1，

∴ = ，

即 = ，

解得：x=56.0，

即GH=56.0米，

∵∠BEF=∠DEH′=45°，

∴EF=BF=15(米)，

∴EM=MH′=x+15=71.0(米)，

∴FM=EF+EM=15+71.0=86.0(米)，

∴CG=FM=86.0米，

∵AC=AB•cos30°=60× =30 ≈52.0(米)，

∴AG=CG﹣AC=86.0﹣52.0=34.0(米).

答：建筑物GH的高为56.0米，AG的长约为34.0米.

点评： 此题考查了坡度坡角问题以及俯角仰角的定义.此题难度较大，注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形;注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.

27.(12分)(2011•盘锦)已知菱形ABCD的边长为5，∠DAB=60°.将菱形ABCD绕着A逆时针旋转得到菱形AEFG，设∠EAB=α，且0°<α<90°，连接DG、BE、CE、CF.

(1)如图(1)，求证：△AGD≌△AEB;

(2)当α=60°时，在图(2)中画出图形并求出线段CF的长;

(3)若∠CEF=90°，在图(3)中画出图形并求出△CEF的面积.

考点： 菱形的性质;三角形的面积;全等三角形的判定与性质;锐角三角函数的定义..

专题： 综合题;压轴题.

分析： (1)利用AD=AB，AG=AE，∠GAD=∠EAB(SAS)证明△AGD≌△AEB即可;

(2)当α=60°时，AE与AD重合，作DH⊥CF于H.由已知可得∠CDF=120°，DF=DC=5，在Rt△CDH中，CH=DCsin60°，继而求出CF的长;

(3)当∠CEF=90°时，延长CE交AG于M，连接AC，∠CEF=90°，只需求出EC的长，又EC=MC﹣ME，在Rt△AME和Rt△AMC中求解MC和ME的长即可.

解答： 解：(1)∵菱形ABCD绕着点A逆时针旋转得到菱形AEFG，

∴AG=AD，AE=AB，∠GAD=∠EAB=α.

∵四边形AEFG是菱形，

∴AD=AB.

∴AG=AE.

∴△AGD≌△AEB.(3分)

(2)解法一：如图(1)，当α=60°时，AE与AD重合，(4分)

作DH⊥CF于H.由已知可得∠CDF=120°，DF=DC=5.

∴∠CDH= ∠CDF=60°，CH= CF.

在Rt△CDH中，

∵CH=DCsin60°=5× = ，(6分)

∴CF=2CH=5 .(7分)

解法二：如图(1)，当α=60°时，AE与AD重合，(4分)

连接AF、AC、BD、AC与BD交于点O.

由题意，知AF=AC，∠FAC=60°.

∴△AFC是等边三角形.

∴FC=AC.

由已知，∠DAO= ∠BAD=30°，AC⊥BD，

∴AO=ADcos30°= .(6分)

∴AC=2AO=5 .

∴FC=AC=5 .(7分)

(3)如图(2)，当∠CEF=90°时，(8分)

延长CE交AG于M，连接AC.

∵四边形AEFG是菱形，

∴EF∥AG.

∵∠CEF=90°，

∴∠GME=90°.

∴∠AME=90°.(9分)

在Rt△AME中，AE=5，∠MAE=60°，

∴AM=AEcos60°= ，EM=AEsin60°= .

在Rt△AMC中，易求AC=5 ，

∴MC= = .

∴EC=MC﹣ME= ﹣ ，

= ( ﹣ ).(11分)

∴S△CEF= •EC•EF= .(12分)

点评： 本题考查菱形的性质，同时涉及了锐角三角函数的定义、全等三角形的判定与性质及三角形面积公式，注意这些知识的熟练掌握并灵活运用，难度较大.

28.(12分)如图，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ，设运动的时间为t(单位：s)(0≤t≤5).解答下列问题：

(1)当t为何值时，△APQ是直角三角形?

(2)是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分?若存在求出此时t的值;若不存在，请说明理由;

(3)把△APQ沿AB(或沿AC)翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形能不能是菱形?若能，求出此时菱形的面积;若不能，请说明理由.

考点： 相似形综合题..

专题： 压轴题.

分析： (1)表示出AP、AQ，然后分∠AQP=90°和∠APQ=90°两种情况，利用∠A的余弦列式计算即可得解;

(2)先求出△ABC的面积，然后利用∠A的正弦求出点P到AQ的距离，再根据△APQ的面积公式列出方程，然后求出根的判别式△<0，确定不存在;

(3)根据菱形的对角相等，对角线平分一组对角可得关于AB翻折时，∠A=∠APQ，过点Q作QD⊥AB于D，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD= AP，然后利用∠A的余弦列式求出t的值，再根据正弦求出DQ，然后根据S菱形=2S△APQ计算即可得解;关于AC翻折时，∠A=∠AQP，过点P作PE⊥AC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE= AQ，然后利用∠A的余弦列式求出t的值，再根据正弦求出PE，然后根据S菱形=2S△APQ计算即可得解.

解答： 解：(1)∵点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，

∴AP=10﹣2t，AQ=t，

如图1，∠AQP=90°时，cos∠A= = ，

∴ = ，

解得t= ，

如图2，∠APQ=90°时，cos∠A= = ，

∴ = ，

解得t= ，

综上所述，t= 或 时，△APQ是直角三角形;

(2)△ABC的面积= AC•BC= ×8×6=24cm2，

假设存在t使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，

则点P到AQ的距离为：AP•sin∠A=(10﹣2t)× = (10﹣2t)，

∴△APQ的面积= t• (10﹣2t)= ×24，

整理得，t2﹣5t+20=0，

∵△=(﹣5)2﹣4×1×20=25﹣80=﹣55<0，

∴此方程无解，

∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分;

(3)根据菱形的性质，若关于AB翻折时，则∠A=∠APQ，

如图1，过点Q作QD⊥AB于D，则AD= AP= (10﹣2t)=5﹣t，

cos∠A= = ，

∴ = ，

解得t= ，

∴DQ=AQ•sin∠A= × = ，

AP=10﹣2t=10﹣2× = ，

∴S菱形=2S△APQ=2× × × = ;

若关于AC翻折时，则∠A=∠AQP，

如图2，过点P作PE⊥AC于E，则AE= AQ= ，

cos∠A= = ，

∴ = ，

解得t= ，

∴PE=AP•sin∠A=(10﹣2× )× = × = ，

∴S菱形=2S△APQ=2× × × = ;

综上所述，△APQ沿AB(或沿AC)翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形能是菱形，

菱形的面积为 或 .

点评： 本题是相似形综合题型，主要考查了锐角三角函数，三角形的面积，菱形的对角相等，对角线平分一组对角的性质，(1)(3)两题难点在于要分情况讨论求解，(2)利用根的判别式判断即可，综合题，但难度不大.

总结：九年级上册数学期中试题就为大家分享到这里了，希望对大家有所帮助，更多精彩内容请继续关注精品学习网！

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