(2)过点D作DH⊥AF于点H，设AH=a，根据等边三角形的性质表示出DH的长度，然后表示出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式，解方程得到a的值，从而得解.

解答： 解：(1)过点C作CG⊥OA于点G，

∵点C是等边△OAB的边OB的中点，

∴OC=2，∠ A OB=60°，

∴OG=1，CG= ，

∴点C的坐标是(1， )，

由 = ，得：k= ，

∴该双曲线所表示的函数解析式为y= ;

(2)过点D作DH⊥AF于点H，设AH=a，则DH= a.

∴点D的坐标为(4+a， )，

∵点D是双曲线y= 上的点，

由xy= ，得 (4+a)= ，

即：a2+4a-1=0，

解得：a1= -2，a2=- -2(舍去)，

∴AD=2AH=2 -4，

∴等边△AEF的边长是2AD=4 -8.

点评： 本题是对反比例函数的综合考查，包括待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质，解一元二次方程，难度不大，作出辅助线，表示出点C、D的坐标是解题的关键.

22.(2012•丽水)小明参加班长竞选，需进行演讲答辩与民主测评，民主测评时一人一票，按“优秀、良好、一般”三选一投票.如图是7位评委对小明“演讲答辩”的评分统计图及全班50位同学民主测评票数统计图.

(1)求评委给小明演讲答辩分数的众数，以及民主测评为“良好”票数的 扇形圆心角度数;

(2)求小明的综合得分是多少?

(3)在竞选中，小亮的民主测评得分为82分，如果他的综合得分不小于小明的综合得分，他的演讲答辩得分至少要多少分?

考点： 条形统计图;一元一次不等式的应用;扇形统计图;加权平均数;众数。

分析： (1)根据众数的定义和所给的统计图即可得出评委给小明演讲答辩分数的众数;用1减去一般和优秀所占的百分比，再乘以360°，即可得出民主测评为“良好”票数的扇形圆心角的度数;

(2)先去掉一个最高分和一个最低分，算出演讲答辩分的平均分，再算出民主测评分，再根据规定即可得出小明的综合得分;

(3)先设小亮的演讲答辩得 分为x分，根据题意列出不等式，即可得出小亮的演讲答辩得至少分数.

解答： 解：(1)小明演讲答辩分数的众数是94分，

民主测评为“良好”票数的扇形的圆心角度数是：(1-10%-70%)×360°=72°.

(2)演讲答辩分：(95+94+92+90+94)÷5=93，

民主测评分：50×70%×2+50×20%×1=80，

所以，小明的综合得分：93×0.4+80×0.6=85.2.

(3)设小亮的演讲答辩得分为x分，根据题意，得：

82×0.6+0.4x≥85.2，

解得：x≥90.

答：小亮的演讲答辩得分至少要90分.

点评： 本题考查的是条形统计图的综合运用.读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个评分的数据.

23.(2012•丽水)在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC.

(1)如图1，当点A的横坐标为　-1 　时，矩形AOBC是正方形;

(2)如图2，当点A的横坐标为 时，

①求点B的坐标;

②将抛物线y=x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y=-x2，试判断抛物线y=-x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点?如果可以，说出变换的过程;如果不可以，请说明理由.

考点： 二次函数综合题。

专题： 代数几何综合题。

分析： (1)过点A作AD⊥x轴于点D，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠AOC=45°，所以∠AOD=45°，从而得到△AOD是等腰直角三角形，设点A坐标为(-a，a)，然后利用点A在抛物线上，把点的坐标代入解析式计算即可得解;

(2)①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，先利用抛物线解析式求出AE的长度，然后证明△AEO和△OFB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OF与BF的关系，然后利用点B在抛物线上，设出点B的坐标代入抛物线解析式计算即可得解;

②过点C作CG⊥BF于点G，可以证明△AEO和△BGC全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=OE，BG=AE，然后求出点C的坐标，再根据对称变换以及平移变换不改变抛物线的形状利用待定系数法求出过点A、B的抛物线解析式，把点C的坐标代入所求解析式进行验证变换后的解析式是否经过点C，如果经过点C，把抛物线解析式转化为顶点式解析式，根据顶点坐标写出变换过程即可.

解答： 解：(1)如图，过点A作AD⊥x轴于点D，

∵矩形AOBC是正方形，

∴∠AOC=45°，

∴∠AOD=90°-45°=45°，

∴△AOD是等腰直角三角形，

设点A的坐标为(-a，a)(a≠0)，

则(-a)2=a，

解得a1=-1，a2=0(舍去)，

∴点A的坐标-a=-1，

故答案为：-1;

(2)①过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，

当x=- 时，y=(- )2= ，

即OE= ，AE= ，

∵∠AOE+∠BOF=180°-90°=90°，

∠AOE+∠EAO=90°，

∴∠EAO=∠BOF，

又∵∠AEO=∠BFO=90°，

∴△AEO∽△OFB，

∴ = = = ，

设OF=t，则BF=2t，

∴t2=2t，

解得：t1=0(舍去)，t2=2，

∴点B(2，4);

②过点C作CG⊥BF于点G，

∵∠AOE+∠EAO=90°，∠FBO+∠CBG=90°，∠AEO=∠FBO，

∴∠EAO=∠CBG，

在△AEO和△BGC中， ，

∴△AEO≌△BGC(AAS)，

∴CG=OE= ，BG=AE= .

∴xc=2- = ，yc=4+ = ，

∴点C( ， )，

设过A(- ， )、B(2，4)两点的抛物线解析式为y=-x2+bx+c，由题意得， ，

解得 ，

∴经过A、B两点的抛物线解析式为y=-x2+3x+2，

当x= 时，y=-( )2+3× +2= ，所以点C也在此抛物线上，

故经过A、B、C三点的抛物线解析式为y=-x2+3x+2=-(x- )2+ .

平移方案：先将抛物线y=-x2向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到抛物线y=-(x- )2+ .

点评： 本题是对二次函数的综合考查，包括正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求抛物线解析式，综合性较强，难度较大，要注意利用点的对称、平移变换来解释抛物线的对称平移变换，利用点研究线也是常 用的方法之一.

24.(2012•丽水)在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB= .如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB=14，OC= ，AC与y轴交于点E.

(1)求AC所在直线的函数解析式;

(2)过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积;

(3)已知点F(10，0)，在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧?若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由.

考点： 一次函数综合题。

分析： (1)根据三角函数求E点坐标，运用待定系数法求解;

(2)在Rt△OGE中，运用三角函数和勾股定理求EG，OG的长度，再计算面积;

(3)分两种情况讨论求解：①点Q在AC上;②点Q在AB上.求直线OP与直线AC的交点坐标即可 .

解答： 解：(1)在Rt△OCE中，OE=OCtan∠OCE= = ，∴点E(0，2 ).

设直线AC的函数解析式为y=kx+ ，有 ，解得：k= .

∴直线AC的函数解析式为y= .

(2)在Rt△OGE中，tan∠EOG=tan∠OCE= = ，

设EG=3t，OG=5t，OE= = t，∴ ，得t=2，

故EG=6，OG=10，

∴S△OEG= .

(3)存在.

①当点Q在AC上时，点Q即为点G，

如图1，作∠FOQ的角平分线交CE于点P1，

由△OP1F≌△OP1Q，则有P1F⊥x轴，由于点P1在直线AC上，当x=10时，

y=- = ，

∴点P1(10， ).

②当点Q在AB上时，

如图2，有OQ=OF，作∠FOQ的角平分线交CE于点P2，

过点Q作QH⊥OB于点H，设OH=a，

则BH=QH=14-a，

在Rt△OQH中，a2+(14-a)2=100，

解得：a1=6，a2=8，

∴Q(-6，8)或Q(-8，6).

连接QF交OP2于点M.

当Q(-6，8)时，则点M(2，4).

当Q(-8，6)时，则点M(1，3).

设直线OP2的解析式为y=kx，则

2k=4，k=2.

∴y=2x.

解方程组 ，得 .

∴P2( );

当Q(-8，6)时，则点M(1，3).

同理可求P2′( ).

综上所述，满足条件的P点坐标为(10， )或( )或( ).

点评： 此题考查一次函数的综合应用，运用了分类讨论的数学思想方法，综合性强，难度大.

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