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2016年中考数学备考专项练习:矩形菱形

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2015-11-18

5. (2014•浙江杭州,第5题,3分)下列命题中,正确的是(  )

A. 梯形的对角线相等 B. 菱形的对角线不相等

C. 矩形的对角线不能相互垂直 D. 平行四边形的对角线可以互相垂直

考点: 命题与定理.

专题: 常规题型.

分析: 根据等腰梯形的判定与性质对A进行判断;根据菱形的性质对B进行判断;根据矩形的性质对C进行判断;根据平行四边形的性质对D进行判断.

解答: 解:A、等腰梯形的对角线相等,所以A选项错误;

B、菱形的对角线不一定相等,若相等,则菱形变为正方形,所以B选项错误;

C、矩形的对角线不一定相互垂直,若互相垂直,则矩形变为正方形,所以C选项错误;

D、平行四边形的对角线可以互相垂直,此时平行四边形变为菱形,所以D选项正确.

故选D.

点评: 本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式;有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.

6.(2014年贵州黔东南10.(4分))如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=16,将矩形ABCD沿EF折叠,使点C与点A重合,则折痕EF的长为(  )

A. 6 B. 12 C. 2 D. 4

考点: 翻折变换(折叠问题).

分析: 设BE=x,表示出CE=16﹣x,根据翻折的性质可得AE=CE,然后在Rt△ABE中,利用勾股定理列出方程求出x,再根据翻折的性质可得∠AEF=∠CEF,根据两直线平行,内错角相等可得∠AFE=∠CEF,然后求出∠AEF=∠AFE,根据等角对等边可得AE=AF,过点E作EH⊥AD于H,可得四边形ABEH是矩形,根据矩形的性质求出EH、AH,然后求出FH,再利用勾股定理列式计算即可得解.

解答: 解:设BE=x,则CE=BC﹣BE=16﹣x,

∵沿EF翻折后点C与点A重合,

∴AE=CE=16﹣x,

在Rt△ABE中,AB2+BE2=AE2,

即82+x2=(16﹣x)2,

解得x=6,

∴AE=16﹣6=10,

由翻折的性质得,∠AEF=∠CEF,

∵矩形ABCD的对边AD∥BC,

∴∠AFE=∠CEF,

∴∠AEF=∠AFE,

∴AE=AF=10,

过点E作EH⊥AD于H,则四边形ABEH是矩形,

∴EH=AB=8,

AH=BE=6,

∴FH=AF﹣AH=10﹣6=4,

在Rt△EFH中,EF= = =4 .

故选D.

点评: 本题考查了翻折变换的性质,矩形的判定与性质,勾股定理,熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键,也是本题的突破口.

7.(2014•遵义9.(3分))如图,边长为2的正方形ABCD中,P是CD的中点,连接AP并延长交BC的延长线于点F,作△CPF的外接圆⊙O,连接BP并延长交⊙O于点E,连接EF,则EF的长为(  )

A. B. C. D.

考点: 相似三角形的判定与性质;正方形的性质;圆周角定理

分析: 先求出CP、BF长,根据勾股定理求出BP,根据相似得出比例式,即可求出答案.

解答: 解:∵四边形ABCD是正方形,

∴∠ABC=∠PCF=90°,CD∥AB,

∵F为CD的中点,CD=AB=BC=2,

∴CP=1,

∵PC∥AB,

∴△FCP∽△FBA,

∴ = =,

∴BF=4,

∴CF=4﹣2=2,

由勾股定理得:BP= = ,

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠BCP=∠PCF=90°,

∴PF是直径,

∴∠E=90°=∠BCP,

∵∠PBC=∠EBF,

∴△BCP∽△BEF,

∴ = ,

∴ = ,

∴EF= ,

故选D.

点评: 本题考查了正方形的性质,圆周角定理,相似三角形的性质和判定的应用,主要考查学生的推理能力和计算能力,题目比较好,难度适中.

8.(2014•十堰9.(3分))如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,DE⊥BC,垂足为点E,连接AC交DE于点F,点G为AF的中点,∠ACD=2∠ACB.若DG=3,EC=1,则DE的长为(  )

A. 2 B. C. 2 D.

考点: 勾股定理;等腰三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.

分析: 根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG,根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA,根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD,再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD,根据等腰三角形的性质可得CD=DG,再根据勾股定理即可求解.

解答: 解:∵AD∥BC,DE⊥BC,

∴DE⊥AD,∠CAD=∠ACB

∵点G为AF的中点,

∴DG=AG,

∴∠GAD=∠GDA,

∴∠CGD=2∠CAD,

∵∠ACD=2∠ACB,

∴∠ACD=∠CGD,

∴CD=DG=3,

在Rt△CED中,DE= =2 .

故选:C.

点评: 综合考查了勾股定理,等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线,解题的关键是证明CD=DG=3.

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