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2016年中考数学考前必做试题:开放性问题

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2015-12-22

②以点D为圆心,AD为半径画弧,交BC于点P′,如图①,.

则DA=DP′.

∴△P′AD是等腰三角形.

∵四边形ABCD是矩形,

∴AD=BC,AB=DC,∠C=90°.

∵AB=3,BC=4,

∴DC=3,DP′=4.

∴CP′= = .

∴BP′=4﹣ .

③点A为圆心,AD为半径画弧,交BC于点P″,如图①,

则AD=AP″.

∴△P″AD是等腰三角形.

同理可得:BP″= .

综上所述:在等腰三角形△ADP中,

若PA=PD,则BP=2;

若DP=DA,则BP=4﹣ ;

若AP=AD,则BP= .

(2)∵E、F分别为边AB、AC的中点,

∴EF∥BC,EF= BC.

∵BC=12,

∴EF=6.

以EF为直径作⊙O,过点O作OQ⊥BC,垂足为Q,连接EQ、FQ,如图②.

∵AD⊥BC,AD=6,

∴EF与BC之间的距离为3.

∴OQ=3

∴OQ=OE=3.

∴⊙O与BC相切,切点为Q.

∵EF为⊙O的直径,

∴∠EQF=90°.

过点E作EG⊥BC,垂足为G,如图②.

∵EG⊥BC,OQ⊥BC,

∴EG∥OQ.

∵EO∥GQ,EG∥OQ,∠EGQ=90°,OE=OQ,

∴四边形OEGQ是正方形.

∴GQ=EO=3,EG=OQ=3.

∵∠B=60°,∠EGB=90°,EG=3,

∴BG= .

∴BQ=GQ+BG=3+ .

∴当∠EQF=90°时,BQ的长为3+ .

(3)在线段CD上存在点M,使∠AMB=60°.

理由如下:

以AB为边,在AB的右侧作等边三角形ABG,

作GP⊥AB,垂足为P,作AK⊥BG,垂足为K.

设GP与AK交于点O,以点O为圆心,OA为半径作⊙O,

过点O作OH⊥CD,垂足为H,如图③.

则⊙O是△ABG的外接圆,

∵△ABG是等边三角形,GP⊥AB,

∴AP=PB= AB.

∵AB=270,

∴AP=135.

∵ED=285,

∴OH=285﹣135=150.

∵△ABG是等边三角形,AK⊥BG,

∴∠BAK=∠GAK=30°.

∴OP=AP•tan30°

=135×

=45 .

∴OA=2OP=90 .

∴OH

∴⊙O与CD相交,设交点为M,连接MA、MB,如图③.

∴∠AMB=∠AGB=60°,OM=OA=90 ..

∵OH⊥CD,OH=150,OM=90 ,

∴HM= = =30 .

∵AE=400,OP=45 ,

∴DH=400﹣45 .

若点M在点H的左边,则DM=DH+HM=400﹣45 +30 .

∵400﹣45 +30 >340,

∴DM>CD.

∴点M不在线段CD上,应舍去.

若点M在点H的右边,则DM=DH﹣HM=400﹣45 ﹣30 .

∵400﹣45 ﹣30 <340,

∴DM

∴点M在线段CD上.

综上所述:在线段CD上存在唯一的点M,使∠AMB=60°,

此时DM的长为(400﹣45 ﹣30 )米.

点评: 本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识,考查了操作、探究等能力,综合性非常强.而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键.

这就是我们为大家准备的2016年中考数学考前必做试题的内容,希望符合大家的实际需要。

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