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2016-06-01
三.解答题
1. (2014年江苏南京,第19题)如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,过点E作EF∥AB,交BC于点F.
(1)求证:四边形DBFE是平行四边形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形DBEF是菱形?为什么?
(第1题图)
考点:三角形的中位线、菱形的判定
分析:(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC,然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明;
(2)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明.
(1)证明:∵D、E分别是AB、AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,又∵EF∥AB,∴四边形DBFE是平行四边形;
(2)解答:当AB=BC时,四边形DBEF是菱形.
理由如下:∵D是AB的中点,∴BD= AB,∵DE是△ABC的中位线,
∴DE= BC,∵AB=BC,∴BD=DE,又∵四边形DBFE是平行四边形,∴四边形DBFE是菱形.
点评:本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,平行四边形的判定,菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系,熟记性质与判定方法是解题的关键.
2. (2014•乐山,第21题10分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,∠B=30°,CE⊥AB,垂足为点E.若AD=1,AB=2 ,求CE的长.
考点: 直角梯形;矩形的判定与性质;解直角三角形..
分析: 利用锐角三角函数关系得出BH的长,进而得出BC的长,即可得出CE的长.
解答: 解:过点A作AH⊥BC于H,则AD=HC=1,
在△ABH中,∠B=30°,AB=2 ,
∴cos30°= ,
即BH=ABcos30°=2 × =3,
∴BC=BH+BC=4,
∵CE⊥AB,
∴CE= BC=2.
点评: 此题主要考查了锐角三角函数关系应用以及直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半等知识,得出BH的长是解题关键.
3. (2014•攀枝花,第19题6分)如图,在梯形OABC中,OC∥AB,OA=CB,点O为坐标原点,且A(2,﹣3),C(0,2).
(1)求过点B的双曲线的解析式;
(2)若将等腰梯形OABC向右平移5个单位,问平移后的点C是否落在(1)中的双曲线上?并简述理由.
考点: 等腰梯形的性质;反比例函数图象上点的坐标特征;待定系数法求反比例函数解析式;坐标与图形变化-平移.
分析: (1)过点C作CD⊥AB于D,根据等腰梯形的性质和点A的坐标求出CD、BD,然后求出点B的坐标,设双曲线的解析式为y= (k≠0),然后利用待定系数法求反比例函数解析式解答;
(2)根据向右平移横坐标加求出平移后的点C的坐标,再根据反比例函数图象上点的坐标特征判断.
解答: 解:(1)如图,过点C作CD⊥AB于D,
∵梯形OABC中,OC∥AB,OA=CB,A(2,﹣3),
∴CD=2,BD=3,
∵C(0,2),
∴点B的坐标为(2,5),
设双曲线的解析式为y= (k≠0),
则 =5,
解得k=10,
∴双曲线的解析式为y= ;
(2)平移后的点C落在(1)中的双曲线上.x k b 1 . c o m
理由如下:点C(0,2)向右平移5个单位后的坐标为(5,2),
当x=5时,y= =2,
∴平移后的点C落在(1)中的双曲线上.
点评: 本题考查了等腰梯形的性质,待定系数法求反比例函数解析式,反比例函数图象上点的坐标特征,坐标与图形变化﹣平移,熟练掌握等腰梯形的性质并求出点B的坐标是解题的关键.
4. (2014•黑龙江龙东,第26题8分)已知△ABC中,M为BC的中点,直线m绕点A旋转,过B、M、C分别作BD⊥m于D,ME⊥m于E,CF⊥m于F.
(1)当直线m经过B点时,如图1,易证EM= CF.(不需证明)
(2)当直线m不经过B点,旋转到如图2、图3的位置时,线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,并选择一种情况加以证明.
考点: 旋转的性质;全等三角形的判定与性质;梯形中位线定理..
分析: (1)利用垂直于同一直线的两条直线平行得出ME∥CF,进而利用中位线的性质得出即可;
(2)根据题意得出图2的结论为:ME= (BD+CF),图3的结论为:ME= (CF﹣BD),进而利用△DBM≌△KCM(ASA),即可得出DB=CK DM=MK即可得出答案.
解答: 解:(1)如图1,
∵ME⊥m于E,CF⊥m于F,
∴ME∥CF,
∵M为BC的中点,
∴E为BF中点,
∴ME是△BFC的中位线,
∴EM= CF.
(2)图2的结论为:ME= (BD+CF),
图3的结论为:ME= (CF﹣BD).
图2的结论证明如下:连接DM并延长交FC的延长线于K
又∵BD⊥m,CF⊥m
∴BD∥CF
∴∠DBM=∠KCM
在△DBM和△KCM中
∴△DBM≌△KCM(ASA),
∴DB=CK DM=MK
由题意知:EM= FK,
∴ME= (CF+CK)= (CF+DB)
图3的结论证明如下:连接DM并延长交FC于K
又∵BD⊥m,CF⊥m
∴BD∥CF
∴∠MBD=∠KCM
在△DBM和△KCM中
∴△DBM≌△KCM(ASA)
∴DB=CK,DM=MK,
由题意知:EM= FK,
∴ME= (CF﹣CK)= (CF﹣DB).
点评: 此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识,得出△DBM≌△KCM(ASA)是解题关键.
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