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2016-10-08
∴AE是⊙O的切线.
【点评】本题考查了圆周角定理和切线的判定,熟练掌握切线的判定定理是解题的关键.
20.如图所示,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交⊙O于点D,点E在⊙O上.
(1)若∠AOD=52°,求∠DEB的度数;
(2)若OC=3,OA=5,求AB的长.
【考点】垂径定理;勾股定理;圆周角定理.
【分析】(1)根据垂径定理,得到 = ,再根据圆周角与圆心角的关系,得知∠E= ∠O,据此即可求出∠DEB的度数;
(2)由垂径定理可知,AB=2AC,在Rt△AOC中,OC=3,OA=5,由勾股定理求AC即可.
【解答】解:(1)∵AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,
∴ = ,∴∠DEB= ∠AOD= ×52°=26°;
(2)∵AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,
∴AC=BC,即AB=2AC,
在Rt△AOC中,AC= = =4,
则AB=2AC=8.
【点评】本题考查了垂径定理,勾股定理及圆周角定理.关键是由垂径定理得出相等的弧,相等的线段,由垂直关系得出直角三角形,运用勾股定理.
21.如图,在平面直角坐标系内,⊙C与y轴相切于D点,与x轴相交于A(2,0)、B(8,0)两点,圆心C在第四象限.
(1)求点C的坐标;
(2)连接BC并延长交⊙C于另一点E,若线段BE上有一点P,使得AB2=BP•BE,能否推出AP⊥BE?请给出你的结论,并说明理由;
(3)在直线BE上是否存在点Q,使得AQ2=BQ•EQ?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,也请说明理由.
【考点】垂径定理;坐标与图形性质;根据实际问题列一次函数关系式;勾股定理;相似三角形的判定与性质.
【专题】综合题;压轴题;开放型;存在型;数形结合;分类讨论.
【分析】(1)根据题意,根据圆心的性质,可得C的AB的中垂线上,易得C的横坐标为5;进而可得圆的半径为5;利用勾股定理可得其纵坐标为﹣4;即可得C的坐标;
(2)连接AE,由圆周角定理可得∠BAE=90°,进而可得AB2=BP•BE,即 ,可得△ABE∽△PBA;进而可得∠BAE=90°,即AP⊥BE;
(3)分三种情况讨论,根据相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数的定义,易得Q到xy轴的距离,即可得Q的坐标.
【解答】解:(1)C(5,﹣4);(3分)
(2)能. (4分)
连接AE,
∵BE是⊙O的直径,
∴∠BAE=90°,(5分)
在△ABE与△PBA中,AB2=BP•BE,即 ,
又∠ABE=∠PBA,
∴△ABE∽△PBA,(7分)
∴∠BPA=∠BAE=90°,即AP⊥BE;(8分)
(3)分析:假设在直线EB上存在点Q,使AQ2=BQ•EQ.Q点位置有三种情况:
①若三条线段有两条等长,则三条均等长,于是容易知点C即点Q;
标签:数学试卷
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