(2)设△AMB的面积为S，写出S=f(λ)的表达式，并求S的最小值.

(1)证明：由已知条件，得F(0,1)，λ>0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2).

由AF→=λFB→，即得(-x1,1-y1)=λ(x2，y2-1)，

-x1=λx2， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　①1-y1=λy2-1，  ②

将①式两边平方并把y1=14x21，y2=14x22代入得y1=λ2y2.③

解②、③式得y1=λ，y2=1λ，

且有x1x2=-λx22=-4λy2=-4，

抛物线方程为y=14x2，求导得y′=12x.

所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y=12x1(x-x1)+y1，y=12x2(x-x2)+y2，即y=12x1x-14x21，

y=12x2x-14x22.

解出两条切线的交点M的坐标为x1+x22，-1.

所以FM→•AB→=x1+x22，-2•(x2-x1，y2-y1)=

12(x22-x21)-214x22-14x21=0，

所以FM→•AB→为定值，其值为0.

(2)解：由(1)知在△ABM中，FM⊥AB，

因而S=12|AB||FM|.

|FM|= x1+x222+-22

= 14x21+14x22+12x1x2+4

= y1+y2+12×-4+4

= λ+1λ+2=λ+1λ.

因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=-1的距离，所以|AB|=|AF|+|BF|

=y1+y2+2[来源:Ks5u.com]

=λ+1λ+2=λ+1λ2.

于是S=12|AB||FM|=12λ+1λ3，

由λ+1λ≥2知S≥4，且当λ=1时，S取得最小值4.

2012届高考数学模拟测试题就分享到这里了，希望大家多做练习!

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